Суперрадиация и квантовые процессы во внешнем магнитном поле

Внешнее однородное магнитное поле вокруг вращающейся черной дыры, как было показано в § 9, создает эффективную разность электростатических потенциалов между горизонтом событий и удаленной точкой. В силу этого порог суперрадиации для заряженных частиц должен смещаться, как это имело бы место для заряженной дыры, порождающей такую же разность потенциалов. С другой стороны, если (невращающаяся) дыра электрически заряжена, то при наличии внешнего магнитного поля, направленного вдоль оси симметрии, возникает азимутальная

компонента вектора Пойнтинга суммарного электромагнитного поля вокруг дыры, которая дает вклад в компоненту метрики. Этот вклад приводит к увлечению систем отсчета и возникновению эффективной эргосферы также и для нейтральных частиц. Рассмотрим каждый из этих эффектов подробнее [279].

Запишем уравнение Клейна-Гордана для заряженной массивной частицы в пространстве-времени Керра-Ньюмена при наличии пробного внешнего однородного магнитного поля напряженности В, выбирая для 4-потенциала поля «кулонову» форму

где

эффективный заряд и квадрат 4-потенциала равен

Провести полнее разделение переменных в уравнении (64) не удается, однако если магнитное поле достаточно слабое, то можно рассматривать уравнение (62) в области предполагая, что при пространство-время можно считать плоским, а величину малой по сравнению с единицей. Поток частиц от черной дыры будем вычислять при имея в виду, что в более реалистической задаче однородное магнитное поле должно быть сшито с некоторым убывающим полем. Если предположить также, что то в уравнении (62) можно пренебречь всеми, ее членами, квадратичными по В, за исключением члена сингулярного на горизонте событий. В этом приближении уравнение (63) допускает разделение переменных причем угловая функция удовлетворяет (11) при и эффективной массе частицы

а радиальное уравнение имеет вид (13) с эффективным потенциалом (14), в котором нужно положить

Асимптотические значения потенциала таковы:

Добавка в асимптотической области описывает зеемановский сдвиг энергии заряженной частицы в магнитном поле. Добавка члена в асимптотическое значение потенциала на горизонте соответствует фарадеевской разности потенциалов, индуцируемой вследствие вращения дыры в магнитном поле.

Вычислив потоки энергии, углового момента и заряда при получим выражения (28) — (30), в которых следует заменить на на Заметим, что последнее слагаемое во второй строчке в (66) обращается в нуль при Это означает, что в результате суперрадиации во внешнем магнитном поле черная дыра может приобрести электрический заряд. Если магнитное поле становится настолько сильным, что вблизи горизонта индуцируемое электрическое поле имеет порядок швингеровского поля то вступает в действие электродинамический механизм рождения пар [144]; этот процесс также прекращается после приобретения черной дырой электрического заряда

Процессы суперрадиации и квантовые испарения удается проанализировать и в более реалистическом случае аксиальносимметричного внешнего электромагнитного поля, спадающего на бесконечности. Выберем калибровку так, чтобы причем компоненты зависящие от , обращаются в нуль при (на горизонте величины будут, вообще говоря, конечны). Сингулярность квадрата на горизонте, как и в случае однородного поля, не приводит к трудностям, так как вклад в эффективный радиальный потенциал оказывается конечным (альтернативный способ состоит в использовании двух различных несингулярных калибровок на горизонте и на бесконечности при одновременном умножении на соответствующий фазовый множитель). Благодаря аксиальной симметрии и стационарности поля можно выделить зависимость от времени и азимутального угла

и, вводя «черепашью» координату получить из уравнения Клейна-Гордона в метрике Керра уравнение для :

с эффективным «потенциалом» , который при сделанных предположениях относительно поведения имеет асимптотические значения

где электростатический потенциал горизонта, который в силу теоремы Картера не зависит от 0.

Поскольку в асимптотических областях функция зависит от 0, в них можно разделить переменные, выбрав в качестве функций сфероидальные функции Состояния с «фиксированными на горизонте будут переходить в суперпозицию состояний с различными но с тем же значением на бесконечности. Аналогично состояния с заданными на бесконечности будут соответствовать набору состояний с различными и тем же на горизонте, поэтому в качестве базисных решений уравнения (68) можно выбрать решения с асимптотиками

Выбранные таким образом моды являются точными решениями уравнения (68) и в области промежуточных не выражаются в факторизованном виде. Нормировка в (70) и (71) выбрана так, чтобы скалярные произведения (4), построенные из «падающих» волн, имели вид

Для вычисления потока суперрадиации на бесконечности необходимо найти соотношения, связывающие коэффициенты прохождения и отражения в (70), (71). С этой целью воспользуемся постоянством «интегрального вронскиана»

для любой пары решений уравнения (68) (для доказательства достаточно, воспользовавшись этим уравнением, проинтегрировать по частям по переменной 0). Поскольку уравнение (68) вещественно, то наряду с (70) и (71) его решениями будут комплексно сопряженные функции. Приравнивая асимптотические значения найдем

Стандартное вычисление потоков приводит к формуле для скорости потери массы и углового момента дыры вследствие спонтанной суперрадиации

Порог суперрадиации определяется обращением в нуль величины и равен

Таким образом, вывод об изменении граничной частоты суперрадиации для заряженных частиц во внешнем электромагнитном ноле сохраняется и для общего случая аксиально-симметричного (спадающего на бесконечности) поля. Величина входящая в (78), представляет собой разность электростатических потенциалов горизонта событий и бесконечно удаленной точки, создаваемую внешним электромагнитным полем.

Аналогичным образом можно рассчитать квантовое испарение во внешнем электромагнитном поле; отличие от известного результата сводится к дополнительному суммированию по второму орбитальному числу

Таким образом, влияние внешнего поля состоит в изменении граничной частоты суперрадиации, а также коэффициента прохождения через потенциальный барьер.

Если внешнее поле допускает существование квазисвязанных состояний в окрестности черной дыры, то возможно суперрадиадионное возбуждение некоторых из этих состояний. Так, в случае однородного магнитного поля, удовлетворяющего условию , где положение минимума потенциальной ямы, получим решение вида (42), в котором нужно положить Сшивание этого решения с решениями вблизи горизонта событий, проводимое описанным выше способом, приводит снова к формулам (58), (59) для комплексной частоты, где следует сделать ту же замену. В (56) необходимо также заменить на Условием экспоненциального роста числа частиц на квазистационарном уровне в состоянии с квантовыми числами является отрицательность что сводится к условию

При направление «вращения» частиц на неустойчивом уровне совпадает с направлением вращения дыры, то же самое происходит и в магнитном поле для частиц положительного заряда. Порог возбуждения для античастиц ниже, в результате должен возникать азимутальный ток электрического заряда, направление которого противоположно направлению вращения дыры. Этот ток порождает вторичное магнитное поле, которое частично компенсирует действие внешнего поля В. С другой стороны, черная дыра поглощает преимущественное число частиц с и заряжается до тех пор, пока заряд дыры не станет равным после чего суперрадиация становится симметричной по знаку заряда рождаемых частиц.

Рассмотрим теперь заряженное скалярное поле около черной дыры Керра-Ньюмена, погруженной в однородное магнитное поле, направленное вдоль оси симметрии, учитывая влияние внешнего поля на метрику пространства-времени. Как отмечалось в § 2, эргосфера соответствующего пространства-времени не исчезает даже при Именно значение функции со (2.37) на горизонте событий, имеющее смысл угловой скорости увлечения инерциальных систем отсчета (с точностью до членов, линейных по В), равно

(при совпадает с первым слагаемым в Для функции , определяемой соотношением (16.67), снова будем иметь уравнение (68) с некоторой новой функцией . При эта функция стремится к постоянной, не зависящей от

где электростатический потенциал горизонта равен

компоненты вектор-потенциала, генерирующего магнитное поле. Порог суперрадиации теперь определяется обращением в нуль величины (82); интересно, что граничная частота не обращается в нуль даже при так как параметр согласно (81) остается отличным от нуля. При больших функция растет (в том числе и для это означает, что частицы не могут уходить на бесконечность. Поэтому суперрадиационная неустойчивость должна приводить к экспоненциальному росту для всех бозонных мод, лежащих ниже порога