Черные дыры Ву - Янга

Ву и Янгом [254] было показано, что для системы уравнений Янга — Миллса — Хиггса со спонтанно нарушенной группой внутренней симметрии существуют решения, которые в электромагнитном секторе описывают точечный, магнитный монополь (дай-он), однако без дираковской струны. Эти решения допускают обобщение на искривленное пространство-время [265—260]; соответствующая метрика совпадает с метрикой Керра — Ньюмена [258— 259], возможно также включение параметра Томимацу — Сато [260] и т. п. Как известно, сингулярные решения Ву - Янга послужили прототипом регулярного монопольного решения Полякова [261] — т’Хоофта [262] и соответствующего дайонного решения Джулиа — Зи [263]. Регулярные решения также обсуждались с учетом влияния гравитации [264—266], соответствующие поправки малы [264], если масса монополя не близка к планковской. Сингулярные же решения при учете гравитации изменяются существенно — особенность оказывается скрытой за горизонтом событий.

Рассмотрим калибровочное поле ассоциируемое с локальной изотопической группой симметрии . В этом случае генераторами, нормированными условием

являются матрицы Паули с множителем а структурные константы совпадают с компонентами трехмерного тензора Леви — Чивита Соответствующий тензор напряженностей имеет компоненты

Введем далее изовекторный триплет полей Хиггса

при этом ковариантная производная (7) будет действовать на компоненты согласно равенству

Запишем действие для системы полей в гравитационном поле, локально-инвариантное относительно калибровочной группы и приводящее к спонтанному нарушению симметрии по механизму Хиггса

где эффективный потенциал

имеет минимум при отличном от нуля значении квадрата изовектора

При выборе потенциала в виде (25) значение в точке минимума (26) равно нулю, выбор ненулевого значения эквивалентен введению космологической постоянной которая также включена в действие (24) в качестве независимого параметра.

Варьирование действия (24) приводит к уравнениям для полей

и к уравнениям Эйнштейна

с источником

Для построения интересующего нас решения этой системы можно воспользоваться калибровочной симметрией. Если выбрать калибровку, в которой

то, как легко видеть из формул (21), (23), (27) нелинейные члены в выражении для и в уравнениях для полей

исчезают, причем уравнение для поля Хиггса удовлетворяется тривиально Одновременно исчезает вклад поля Хиггса в источник гравитационного поля (29), который становится совпадающим с тензором энергии-импульса электромагнитного поля, порождаемого тем же потенциалом В результате система сводится к системе уравнений Эйнштейна — Максвелла (вообще говоря, с космологической постоянной), для которой интересующее нас дайонное решение известно как решение Керра — Ньюмена — де Ситтера. Соответствующая метрика была найдена Картером [21]; более общий случай рассматривался Фроловым [268]

где

а 4-потенциал (при выборе струны вдоль отрицательной полярной полуоси) имеет вид

Здесь свободные параметры, играющие роль массы, параметра вращения и электрического заряда черной дыры (последний с точностью до множителя I, см. ниже), магнитный заряд, связь которого с калибровочной константой будет определена ниже.

В отличие от решения Янга (или Полякова — т’Хоофта) потенциал (33) имеет особенность типа дираковской струны. В этом решении, однако, изовектор направлен не вдоль оси в изотопическом пространстве, а вдоль вектора , параллельного радиус-вектору в координатном пространстве

где углы сферической системы координат.

Можно ожидать, что, совершая локальный изотонический поворот в каждой пространственной точке таким образом, чтобы совместить ось с направлением (34) в изотоническом пространстве, мы сможем избавиться одновременно и от дираковской струны [267].

Искомое преобразование, удовлетворяющее требованию

имеет следующий вид

Отметим полезные соотношения

где

Воспользуемся теперь формулой (10) преобразования калибровочного поля, подставляя в правую часть с компонентами из (33). Выражение для -формы преобразованного поля с учетом соотношений (37) примет вид:

«Подозрительным» на наличие особенности вдоль полярной оси является последнее слагаемое в правой части (38). Для его преобразования применим легко проверяемое соотношение

Нетрудно видеть, что, полагая выполненным условие квантования

можно привести последнее слагаемое к виду

откуда следует, что не будет иметь особенности вдоль полярной оси, т. е. дираковская струна в новой калибровке действительно исчезает. В случае плоского пространства-времени переходя к декартовым пространственным коор динатам, найдем

что соответствует дайону с электрическим зарядом и магнитным зарядом Соответствующие (41) сферические компоненты трехмерной части потенциала имеют вид

Может показаться, что при отличных от нуля и а требование (40) противоречит условию квантования Дирака (4). Однако при физическим значением магнитного заряда является не а в чем можно убедиться, вычислив поток магнитного поля через сферическую поверхность в калибровке

Аналогично физический электрический заряд есть так как