§ 5. Основные свойства пределов
a. Сейчас мы докажем две теоремы, позволяющие предугадать некоторые свойства пределов по поведению переменных, которые к этим пределам стремятся.
b. Равные переменные не могут стремиться к двум разным пределам. Иначе говоря, одна и та же переменная не может стремиться к двум разным пределам.
Действительно, допустив одновременно
мы имели бы
где 
— бесконечно малые. Но отсюда
Последнее равенство при 
не равной нулю, заключает в себе противоречие, так как в правой его части стоит бесконечно малая 
которая начиная с некоторого момента будет оставаться меньше любого положительного 
и, в частности, меньше 
Если 
стремятся к некоторым пределам, причем постоянно
то и
Пусть
Тогда
где 
— бесконечно малые. Отсюда ввиду неравенства 
имеем
будет заключать в себе противоречие, так как разность 
бесконечно мала и, следовательно, начиная с некоторого момента должна оставаться по абсолютной величине меньше любого положительного 
и, в частности, меньше 
.
, т. е.
