Именно: пусть первым неравным нулю числом в последовательности
будет 
Примем во внимание графики всех функций 
. Так как каждая из них, например 
имеет своей производной производную порядка 
на единицу большего, и, следовательно, обращающуюся в нуль при 
то при 
каждая из этих функций имеет максимум, минимум или точку замедления.
b. Пусть сначала 
четное и 
Тогда график функции 
в рассматриваемой точке обращен выпуклостью вниз (так как 
) положительна при 
то в силу своей непрерывности 
положительна и при значениях 
близких к 
и, значит, при 
функция 
имеет минимум, равный нулю 
.
При значениях 
близких к 
имеем
Но тогда таким же путем убедимся, что минимум при 
будет иметь и функция 
и функция 
и т.д., пока наконец не дойдем до 
(только здесь уже минимум, вообще говоря, нулю не равен). Итак, при 
функция 
имеет минимум.
c. Пусть опять 
четное, но 
. Тогда, применяя те же самые рассуждения, что и в пункте «b», можно убедиться, что при 
функция 
имеет максимум.
d. Наконец, рассматривая случай нечетного 
и предполагая 
убедимся, что минимум при 
будут иметь производные нечетного порядка: 
и, наконец, 
причем ввиду 
вблизи 
имеем 
(как для значений 
так и для значений 
значит, 
) при 
знака не меняет и потому 
имеет при 
точку замедления.
Тот же результат учащиеся найдут, предположив 
нечетным и 
Итак, имеем правило:
Если 
причем первая не обращающаяся в нуль при 
производная в последовательности
есть 
, то
Рассмотрим 
. Если 
, то рассматриваем 
и т. д. до тех пор, пока не дойдем до неравного нулю числа.
четное и 
то функция 
имеет минимум при 
четное и 
то функция 
имеет максимум при 
нечетное, то при 
имеет точку замедления.
Имеем
равна нулю при 
но
нечетно и при 
имеем точку замедления. Пример 2. Пусть 
Имеем
равна нулю при 
. Тогда
четно, причем 
Значит, при 
имеем максимум.
четно, причем 
Значит, при 
имеем минимум.