Глава 2. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

§ 1. Производная как угловой коэффициент касательной

a. Основная задача, которую мы теперь ставим, - это исследование хода изменения функции

с изменением (увеличением) аргумента.

Поставим себе такой вопрос: как узнать, возрастает ли функция, убывает ли она, и с какой быстротой.

Рис. 8

b. Обращаясь к графику функции (рис. 8), легко усмотреть связь этого вопроса с углом, а наклона касательной к оси абсцисс. На участках возрастания функции (например, в точке МО угол а положителен, на участках убывания функции (например, в точке ) он отрицателен. При этом чем быстрее изменяется функция (возрастает или убывает), тем больше угол а. В точках функция не возрастает и не убывает; в этих точках

Ввиду указанной связи угол а и можно было бы принять за меру скорости изменения функции, причем знак угла а указывал бы тогда сам характер изменения (возрастание или убывание).

c. Однако за такую меру скорости удобнее принимать не сам угол а, а его тангенс, т. е. угловой коэффициент касательной.

Этот угловой коэффициент касательной

для каждой точки М будет свой — он будет зависеть от положения точки М на кривой и будет меняться с перемещением точки М.

А так как положение точки М определяется ее абсциссой то выходит, что а а есть некоторая функция абсциссы

Эту функцию мы называем производной функцией функции Обозначим ее одним из символов

т. е. так же, как и саму функцию, но со значком вверху (читается: у штрих или штрих от ).

Итак, наряду с каждой функцией мы вводим в рассмотрение производную функцию

выражающую юбою угловой коэффициент касательной к графику функции

Нашей ближайшей задачей является разыскание математического выражения этой функции.