Глава 5. СРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
§ 1. Общие теоремы
a. Из сравнений степени 
в дальнейшем будут рассматриваться лишь простейшие, а именно — двучленные сравнения:
Если сравнение (1) имеет решения, то а называется вычетом степени 
по модулю 
. В противном случае а называется невычетом степени 
по модулю 
. В частности, при 
вычеты или невычеты называются квадратичными, при 
- кубическими, при 
- различными.
b. В этой главе мы подробно рассмотрим случай 
и в первую очередь рассмотрим двучленные сравнения второй степени по простому нечетному модулю 
:
c. Если а — квадратичный вычет по модулю 
, то сравнение (2) имеет два решения.
Действительно, если а — квадратичный вычет, то сравнение (2) имеет, по крайней мере, одно решение 
Но тогда, ввиду 
то же сравнение имеет и второе решение 
Это второе решение отлично от первого, так как из 
мы имели бы 
, что невозможно, ввиду 
Указанными двумя решениями и исчерпываются все. решения сравнения (2), так как последнее, будучи сравнением второй степени, более двух решений иметь не может (с, § 4, гл. IV).
d. Приведенная система вычетов по модулю 
состоит из квадратичных вычетов, сравнимых с числами
и квадратичных невычетов.
Действительно, среди вычетов приведенной системы по модулю 
квадратичными вычетами являются те и и только те, которые сравнимы с квадратами чисел (приведенная система вычетов)
т. е. с числами (3). При этом числа (3) по модулю 
не
сравнимы, так как из 
, следовало бы, что сравнению 
, вопреки с, среди чисел (4) удовлетворяют четыре: 
