§ 4. Свойства бесконечно малых

a. Сумма конечного числа бесконечно малых есть также бесконечно малая.

Действительно, пусть — бесконечно малые и

— их сумма. Назначим произвольно малое положительное чйсло е. Чтобы показать, что начиная с некоторого момента будет оставаться меньше , мы в изменении слагаемых а, а суммы и отметим не тот момент, начиная с которого все будут оставаться меньше в, а более поздний, начиная с которого все будут оставаться меньше Начиная с такого момента будем иметь

Итак, начиная с некоторого момента имеем

Значит, — бесконечно малая.

b. Произведение бесконечно малой величины а на ограниченную величину есть также бесконечно малая.

Так как ограниченная, то всегда имеем

Назначив теперь произвольно малое положительное число и отметив в изменении бесконечно малой а тот момент, начиная с которого если если получим, что начиная с некоторого момента

Значит, — бесконечно малая.

с. Частное от деления бесконечно малой на величину, стремящуюся к пределу, не равному нулю, есть тоже бесконечно малая.

Пусть

— частное от деления бесконечно малой а на величину стремящуюся к пределу а, не равному нулю. Перепишем и в виде произведения:

Так как то — бесконечно малая, и, следовательно, начиная с некоторого момента будем иметь

Но тогда начиная с этого момента

потому что самую малую абсолютную величину сумма будет иметь в том случае, когда Р имеет знак, противоположный а, и наибольшую возможную для абсолютную величину Значит, для разыскания наименьшей абсолютной величины надо от отнять . Тем самым

т. е. начиная с некоторого момента будет величиною ограниченной.

Но тогда произведение

будет бесконечно малым, как произведение бесконечно малой на ограниченную величину.