§ 21. Примеры на составление полярных уравнений кривых
а. В качестве примера выведем полярные уравнения эллипса, гиперболы или параболы. Эти кривые имеют общее полярное уравнение, которое получим, если будем исходить из общего свойства этих кривых по отношению к фокусу и директрисе. Саму кривую располагаем, как показано на рис. 81, помещая директрису справа от кривой.
(Для эллипса А будет правой вершиной, для гиперболы — вершиной левой ветви, так что для гиперболы рассматриваем только левую ветвь; наконец, параболу для вывода полярного уравнения приходится повернуть на 
) Полюс О берем в фокусе F, полярную ось направляем из полюса F к вершине кривой.
Рис. 81
b. Обозначим эксцентриситет кривой буквой 
и буквой 
— ординату, восставленную из фокуса. Для любой точки 
имеем
В частности, это верно и для точки S, т. е. 
Далее, имеем 
после чего уравнение (1) дает
Это и есть искомое полярное уравнение.
c. Предлагается самим доказать для эллипса и гиперболы равенство
(рассматривая 
как ординату, восставленную из фокуса).
