§ 3. Понятие бесконечно большой

а. Вместе с понятием бесконечно малой нам потребуется и понятие бесконечно большой величины. В то время как для бесконечно малой нельзя поставить никаких границ ее приближению к нулю, для бесконечно большой величины, наоборот, нельзя поставить никаких границ ее увеличению (по абсолютной величине). Называя какую-либо величину бесконечно большой, мы должны быть уверены в том, что какое бы большое положительное число N мы ни задали, в изменении переменной обязательно наступит момент, начиная с которого абсолютная величина этой переменной будет оставаться больше

Отмечая это характерное свойство бесконечно большой, мы дадим ей такое определение.

Бесконечно большой мы называем такую переменную , относительно которой мы уверены в следующем:

Какое бы большое положительное число N мы ни задали, в изменении наступит момент, начиная с которого абсолютная величина переменной будет оставаться больше

b. И здесь мы считаем необходимым особенно подчеркнуть то, что свойство бесконечно большой начиная с некоторого момента численно оставаться больше N должно обнаруживаться при любом N, как бы велико N ни было задано.

Например, после того как по абсолютной величине уже остается больше N, при дальнейшем изменении наступит момент, начиная с которого и при дальнейшем изменении — моменты, начиная с которых

Иначе, если — бесконечно большая, то при ее изменении последовательно наступят моменты, начиная с которых

с. Относительно бесконечно большой величины часто говорят также, что она стремится к бесконечности. В связи с этим запись того, что — бесконечно большая, можно производить одним из двух следующих способов:

или

(Знак есть символ бесконечности.)

d. В частности, если начиная с некоторого момента все значения бесконечно большой я положительны, пишут

e. Если же начиная с некоторого момента все значения бесконечно большой отрицательны, то пишут

f. Примерами бесконечно больших могут служить переменные , принимающие такие последовательные значения:

Относительно двух первых можно написать, в частности,

тогда как относительно , можно лишь написать

Легко показать, что дробь

с бесконечно малым знаменателем а (не обращающимся в нуль) будет бесконечно большой.

Действительно, задав произвольно большое положительное N и положив видим, что начиная с момента, когда будет оставаться меньше , будем иметь

Таким образом, какое бы большое положительное число N мы ни задали, в изменении величины наступит момент, начиная с которого

Значит, — бесконечно большая.

h. Наоборот, дробь

с бесконечно большим знаменателем будет бесконечно малой.

Задав произвольно малое положительное число и положив видим, что начиная с момента, когда будет оставаться больше N, будем иметь

Таким образом, какое бы малое положительное число в мы ни задали, наступит момент, начиная с которого

Значит, а — бесконечно малая.

i. Переменная абсолютная величина которой остается не больше некоторой постоянной А, т. е. переменная которая всегда удовлетворяет условию

называется ограниченной.

Например, ограниченной будет величина

потому что всегда