§ 13. Уравнение параболы
a. Для каждой точки параболы имеем
Но 
можно рассматривать как расстояние между точками 
(рис. 71), и потому
Далее имеем
Поэтому равенство (1) принимает вид
b. Однако найденное уравнение следует ещё упростить, Возводя в квадрат и раскрывая скобки, имеем
Приводя подобные члены, мы и получим простейшее уравнение параболы
с. Решая это уравнение относительно у, имеем
Отсюда видим, что 
может принимать только положительные значения (и нуль), иначе у будет мнимым. При этом каждому положительному 
отвечают два значения у Итак, форма параболы, получаемая согласно уравнению 
в точности соответствует чертежу, сделанному выше.
Рис. 71
Рис. 72
d. Связь с параболой 
Наша цель — показать, что рассмотренные нами раньше параболы
те же самые; что и рассматриваемые сейчас.
Действительно, поступим с графиком параболы 
так, как мы это делали в начале книги при рассмотрении обратных функций. Повернем плоскость чертежа вокруг оси (биссектрисы первого координатного угла) на 180° (рис. 72). Тогда ось 
совпадет с 
и ось 
совпадет с 
Парабола займет новое положение.
Ее новое уравнение получим из старого, переставив в нем у на место 
и z на место 
. Оно теперь будет
или
Из этого уравнения, употребляя обозначение
имеем
