§ 5. Связь эллипса с окружностью
a. К эллипсу можно подойти еще с другой точки зрения, чем мы это делали до сих пор. Мы покажем сейчас, что эллипс с полуосями а и b можно получить из окружности радиуса а, центр которой, как и у эллипса, находится в начале координат, путем умножения длин всех ординат на одну и ту же дробь
Действительно, если через
и у обозначим соответственно ординаты окружности и эллипса, отвечающие одной и той же абсциссе
(рис. 61), то
Сравнивая эти уравнения, получим равенство
которое и доказывает паше утверждение.
b. Указанное изменение ординат окружности с целью нодучигсь из них ординаты эллипса можно сделать чисто геометрически, и тогда мы получим другой способ построения эллипса.
Рис. 61
Рис. 62
Для этого строим две концентрические окружности с радиусами а и b и центром в начале координат.
Если теперь мы возьмем какую-либо точку
на внешней окружности, то путем построения, указанного на рис. 62, мы немедленно получим соответствующую точку М эллипса. (Строим радиус
и ординату
тогда прямая, проведенная через точку L параллельно оси абсцисс, пересекаясь с ординатой
и дает искомую точку М эллипса.)
Действительно, имея в виду теорему о пропорциональности отрезков отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла имеем
т. е. КМ получается из ординаты окружности путем умножения ее на
а следовательно,
и есть ордината эллипса