§ 15. Основание натуральных логарифмов

а. Применим предыдущее к исследованию весьма важного предела

Положим сначала, что — целое положительное. Применяя бином Ньютона, имеем

Так как числители всех слагаемых полученной суммы меньше 1, то эти слагаемые не превосходят членов ряда (см. пункт «с» § 14)

Нетрудно сообразить, что

Действительно, представляя S в форме

в форме

ввиду сходимости ряда (2) можно указать настолько большое к, что

Тогда ввиду имеем

(6)

Далее, сохраняя выбранное k неизменным, мы в изменении отметим момент, начиная с которого будет отличаться от SH на величину, меньшую что несом

Таким образом, начиная с некоторого момента имеем

Вычитая же из равенства (3) равенство (4), получим (беря абсолютные величины)

Отсюда и заключаем, что

Этот предел обозначается обыкновенно буквою , так что

Ввиду особых удобств число принимается за основание так называемых натуральных логарифмов.

b. При этом логарифм при основании мы будем просто обозначать символом (часто его обозначают также символом ).

Например, для обозначения натуральных логарифмов чисел будем писать

Логарифмы при каком-либо другом основании а будем обозначать символом , указывая внизу основание. Например, для обозначения логарифмов по основанию чисел пишем

c. Нетрудно показать далее, что тот же предел мы получим и в том случае, если не будем ограничивать значения только целыми числами. Действительно, если дробное, то всегда найдутся целые N и такие, что

и тогда, очевидно,

А так как о возрастанием растут и числа N и 1, то имеем

и потому крайние числа последних неравенств будут стремиться к .

Вместе с тем к пределу будет стремиться и выражение

постоянно заключенное между ними.

d. Наконец, покажем, что число будет пределом и в том случае, когда отрицательное и Пусть где Имеем

Полагая далее приведем этот предел к виду

Таким образом, независимо от того, стремится ли к или к предел получается один и тот же, и мы можем, следовательно, написать вообще