§ 25. Угол между прямыми. Условие параллельности. Условие перпендикулярности
а. Прямые в пространстве образуют между собою два угла, один из которых будет острым, другой — тупым (в частном случае оба угла могут оказаться прямыми или же один будет нулем, другой 180°), Косинусы обоих углов отличаются только знаком (в сумме углы образуют 180°).
Рис. 115
Легко видеть, что один из углов совпадает с углом между направляющими векторами прямых.
Но если
— системы уравнений прямых (как было показано в предыдущем параграфе, их к таком виду всегда можно привести), то направляющие векторы прямых имеют проекции 
.
Следовательно, косинус угла 
между прямыми (рис. 115) будет
b. Условие параллельности прямых:
c. Условие же перпендикулярности:
d. Чтобы покончить 
разбираемым вопросом, решим следующую вадачу.
Через точку 
провести прямую параллельно прямой
Искомая прямая должна пройти через точку 
, а так как она параллельна данной, то за направляющий вектор ее можно взять вектор с теми же проекциями 
, что и у данной прямой. Значит, уравнение искомой прямой может быть написано в форме
e. Примеры,
1. Угол между прямыми
определяется формулой
2. Прямые
параллельны ышду того, что
3. Прямые
вааимно перпендикулярны ввиду того, что 
4. Через точку (1; 2; 3) провести прямую параллельно прямой
Чтобы решить эту задачу, сначала приведем систему (1) к системе в виде пропорций. Полагая 
получим
откуда
и, следовательно, прямая проходит через точку 
Положив далее 
получим
откуда
Следовательно, прямая проходит также черев точку 
1/2). Система уравнений этой прямой в 
пропорций будет
или (умножая знаменатели на 2)
Итак, задача свелась к следующей: через точку 
провести прямую параллельно прямой
Решением этой задачи будет
Однако эту эадачу можно решить и проще, хотя тогда 
шение и не получится в виде пропорций. Именно, рассмотрим плоскости, параллельные плоскостям
Уравнения плоскостей будут
Прямая пересечения новых плоскостей будет параллель» на прежней и пройдет черев точку 
Следовательно, прямая, заданная системой (2), и будет той, которая нам требуется.
