§ 12. Парабола. Построение по точкам
а. Выше мы показали, что как эллипс, так и гиперболу можно рассматривать как геометрическое место точекч отношение расстояний которых до фокуса и до директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету 
:
На рис. 69 мы умышленно взяли для эллипса левые фокус и директрису, а для гиперболы — правые.
Разница между эллипсом и гиперболой, однако, состоит в том, что для эллипса 
тогда как для гиперболы 
Естественно возникает вопрос: посмотреть, нет 
кривой, у которой всегда 
Кривая, отвечающая этому случаю, не будет ни эллипсом, ни гиперболой.
Рис. 69
Это будет новая кривая — ее называют параболой.
Таким образом, для любой точки параболы
т. е. расстояния от нее до фокуса и до директрисы равны, b. Парабола есть геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и от директрисы.
Рис. 70
Директрису PQ и фокус F располагают, как указано на рис. 70. Середина О отрезка KF (перпендикулярного к директрисе) принадлежит параболе, так как равноудалёна от фокуса и директрисы. Ее мы принимаем за начало координат, направляя ось абсцисс по 
Точка О называется вершиной параболы 
форма параболы, очевидно, зависит только от расстояния KF. Это расстояние обозначается буквою 
и называется параметром параболы.
Имеем, очевидно, равенство
Координаты фокуса F будут 
с. Чтобы выяснить, какую форму имеет парабола, покажем, как ее можно построить по точкам. Согласно определению расстояния 
и d от любой точки параболы до фокуса и до директрисы должны быть равны. Поэтому если мы, желая перейти от одной точки параболы к другой, увеличиваем или уменьшаем 
, то d должно тоже увеличиться или уменьшиться и притом на такую же величину.
Основываясь на этом, построение параболы можно осуществить так.
Сначала строим вершину О. Мы видим, что О есть точка касания окружности с центром в F и радиусом FO с осью Оу.
Дальнейшие точки параболы получим уже пересечением прямых, параллельных Оу, и окружностей с центром в F, причем расстояния d прямых от директрисы и радиусы окружностей берутся соответственно равными:
так что каждые новые 
и d больше предыдущих и притом на одну и ту же величину
