§ 4. Механическое значение производной
a. Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки. Путь s, пройденный этой точкой за время t, протекшее от начала движения, будет зависеть от t. Он будет некоторой функцией 
Что касается скорости v движения, то она будет тоже меняться с изменением t и тоже, как и 
будет некоторой функцией t. Мы постараемся сейчас найти математическое выражение этой функции, предполагая, что математическое выражение функции 
известно.
b. Для этой цели выберем какой-либо определенный момент t и рассмотрим движение точки за бесконечно малый промежуток времени 
протекший от момента t до бесконечно близкого к нему момента 
Так как скорость можно рассматривать как непрерывную функцию (времени), то ввиду бесконечной малости промежутка времени 
ее можно принять в течение этого промежутка за постоянную и, следовательно, само движение — за равномерное.
Обозначая через 
путь, пройденный точкой за указанный бесконечно малый промежуток времени, для скорости в течение этого промежутка будем иметь приближенное выражение
(потому что скорость равномерного движения выражается отношением пути к времени, за которое этот путь пройден).
Замечая же, что к моменту t путь был
а к моменту 
он стал
имеем для 
следующее выражение:
Следовательно, приближенное выражение скорости будет
Наши рассуждения будут тем ближе к действительности, чем меньше 
Поэтому за истинную скорость в момент t принимаем предел отношения (1) при 
, то есть
Для лучшего уяснения вопроса можно рассуждать так. Считая очевидным» что скорость v есть непрерывно меняющаяся величина, имеющая в каждый момент времени свое определенное численное значение, допустим, что 
— наименьшая и 
— наибольшая скорость в течение всего рассматриваемого промежутка (например, для движения с возрастающей скоростью — скорость к моменту t и 
- скорость к моменту если бы точка двигалась равномерно с наименьшей скоростью 
, то она, конечно, прошла бы и меньший, чем 
путь 
Наоборот, двигаясь равномерно с наибольшей скоростью 
точка прошла бы больший, чем 
путь 
Итак,
откуда
В пределе, когда 
сольется 
то и 
сольется с 
причем получившаяся в результате их совпадения скорость v будет относиться уже к моменту t (с которым слилось 
). И эта предельная скорость v будет, очевидно, равна пределу отношения
так как, находясь постоянно между 
это отношение, очевидно, должно приближаться к тому же пределу v, к которому стремятся b и 
А это (§ 2) как раз совпадает с производной функции 
Итак, можно написать
Следовательно, скорость есть производная пути по времени, т. е. производная функции 
которая выражает путь 
через время 
с. для примера рассмотрим равноускоренное движение материальной точки, считая, что известен путь s как функция времени
(а — ускорение). Согласно изложенному скорость v к моменту t будет
Таким образом, мы получили известное выражение скорости v равноускоренного движения как функции времени 
