Таким образом, теорема верна и для переменных. Но теорема верна для одного переменного. Значит, она верна всегда.
2, а. Имеем
b. Имеем
откуда, деля почленно на и получим указанную теорему.
c, а) Выбирая надлежащим образом знак, имеем Пусть - наибольшая степень 2, делящая . При имеем
Если же то имеем
С этим сравнением повторяем аналогичную операцию, и т. д.
Р) Выбрав надлежащим образом знак, имеем Пусть наибольшая степень 3, делящая . При имеем
Если же то имеем
С этим сравнением повторяем аналогичную операцию, и т. д.
у) Пусть — простой делитель числа а. Найдем t из условия . Пусть - наибольшая степень , делящая и пусть Имеем
Если то с этим новым сравнением повторяем аналогичную операцию, и т. д.
Указанный способ удобен в случае небольших простых сомножителей числа а.
3. Полагая пишем сравнения
Расположив эти сравнения в порядке возрастания правых частей (ср. вопрос 4, а, гл. II) и вычитая почленно каждое сравнение (кроме последнего) из следующего за ним, получим сравнений вида При этом, по крайней мере, в одном сравнении будет Действительно, и имеет значений, эти значения положительные, и их сумма равна .
4, а, а) Следует из определения символической дроби.
) Здесь можно положить где t определяется условия тогда сравнению удовлетворяет
целое число, представляемое обычной дробью
) Имеем ( кратно кратно с)
) Имеем
b, а) Имеем (сравнения берутся по модулю )
Вопрос 2, b теперь проще решать так:
) Имеем
5, а. Числа попарно не могут иметь общего делителя с d. Произведения могут быть объединены в совокупностей по числу способов, сколькими число d может быть разбито на попарно простых сомножителей с учетом порядка последних (вопрос 11, b, гл. II). Пусть — одно из таких разбиений. Число произведений с условием
равно — Поэтому искомое число равно
b. Указанное число равно
где — число различных простых делителей числа d.
При этом
6, а. Все значения удовлетворяющие первому сравнению, даются равенством где - целое. Чтобы выбрать из них которые удовлетворяют также и второму сравнению, надо ограничиться лишь теми значениями которые удовлетворяют сравнению
Но это сравнение разрешимо тогда и только тогда, когда кратно d. При этом в случае разрешимости совокупность значений ему удовлетворяющих, определяется равенством вида где — целое; вместе с тем совокупность значений удовлетворяющих рассматриваемой в вопросе системе, определится равенством
b. В случае разрешимости системы
совокупность значений удовлетворяющих, представится сравнением вида . В случае разрешимости системы
совокупность значений удовлетворяющих, представится сравнением вида . В случае разрешимости системы
совокупность значений удовлетворяющих, представится сравнением вида и т. д.
7, а) От замены на (вследствие чего заменится на , величина суммы не изменится.
) Когда пробегает приведенную систему вычетов по модулю , то и пробегает приведенную систему вычетов по модулю т.
у) Полагая получим
) Имеем
Полагая имеем
что и доказывает указанное свойство в случае двух сомножителей. Обобщение на случай более чем двух сомножителей тривиально.
8. Сравнение
имеет решений. Оно степени ниже . Следовательно, все его коэффициенты кратны , а это и выражается сравнениями, указанными в вопросе.
9, а. При соответственно взятому из ряда найдем отличное от него число того же ряда с условием ; действительно, из следовало бы или Поэтому
b. Пусть Допустив, что Я имеет делитель и с условием мы имели бы .
10, а. Находим h с условием . Данное сравнение равносильно такому:
b. Пусть - частное и — остаток от деления на Все коэффициенты - целые, - степени - степени ниже ,
Пусть сравнение за имеет решений. Те же решения будут решениями и сравнения ; поэтому все коэффициенты кратны .
Обратно, пусть все коэффициенты кратны . Тогда кратно при тех же значениях что и поэтому сумма чисел решений сравнений
не меньше чем . Пусть первое имеет а, а второе решений. Из
выводим
c. Возвышая данное сравнение почленно в степень убеждаемся в необходимости указанного условия. Пусть это условие выполнено; из следует, что остаток от деления на есть где кратно .
11. Из следует при этом произведения отвечающие несравнимым по модулю , несравнимы. Из следует , причем, определяя у условием имеем