§ 3. Система сравнений первой степени
а. Мы рассмотрим лишь простейшую систему сравнений
с одним неизвестным, но с разными и притом попарно простыми модулями.
b. Решить систему (1), т. е. найти все значения х, ей удовлетворяющие, можно, применяя следующую теорему: Пусть числа 
определены из условий
и пусть
Тогда совокупность значений 
удовлетворяющих системе (1), определяется сравнением
Действительно, ввиду делимости на 
всех 
отличных от 
при любом 
имеем
и, следовательно, система (1) равносильна системе
(т. е. системам (1) и (3) удовлетворяют одни и те же значения 
).
Системе же (3), ввиду теорем си d § 3, гл. III, удовлетворяют те и только те значения 
которые удовлетворяют сравнению (2).
c. Если 
независимо друг от друга пробегают полные системы вычетов по модулям 
пробегает полную систему вычетов по модулю 
.
Действительно, 
пробегает 
значений, ввиду d, § 3, гл. III, несравнимых по модулю 
.
d. Пример. Решим систему
Здесь 
причем
Поэтому
и, следовательно, совокупность значений x, удовлетворяющих системе, может быть представлена в виде
Так, например, совокупность значений 
удовлетворяющих системе
будет
а совокупность значений х, удовлетворяющих системе
будет
