§ 3. Система сравнений первой степени

а. Мы рассмотрим лишь простейшую систему сравнений

с одним неизвестным, но с разными и притом попарно простыми модулями.

b. Решить систему (1), т. е. найти все значения х, ей удовлетворяющие, можно, применяя следующую теорему: Пусть числа определены из условий

и пусть

Тогда совокупность значений удовлетворяющих системе (1), определяется сравнением

Действительно, ввиду делимости на всех отличных от при любом имеем

и, следовательно, система (1) равносильна системе

(т. е. системам (1) и (3) удовлетворяют одни и те же значения ).

Системе же (3), ввиду теорем си d § 3, гл. III, удовлетворяют те и только те значения которые удовлетворяют сравнению (2).

c. Если независимо друг от друга пробегают полные системы вычетов по модулям пробегает полную систему вычетов по модулю .

Действительно, пробегает значений, ввиду d, § 3, гл. III, несравнимых по модулю .

d. Пример. Решим систему

Здесь причем

Поэтому

и, следовательно, совокупность значений x, удовлетворяющих системе, может быть представлена в виде

Так, например, совокупность значений удовлетворяющих системе

будет

а совокупность значений х, удовлетворяющих системе

будет