Вопросы к главе 6

Буквою здесь всегда обозначаем простое нечетное число.

1, а. Пусть а — целое, . Доказать, что простые нечетные делители числа делят или имеют вид

Пусть а — целое, . Доказать, что простые нечетные делители числа делят или имеют вид

Доказать бесконечность числа простых чисел вида

Пусть — целое, Доказать, что простые делители числа имеют вид

2, Пусть а — целое, , — целое, Доказать, что кратно .

3, а. Пусть и — целое, Из чисел я при нечетном я образуем перестановки

и т. д., а при четном образуем перестановки-.

и т. д. Доказать, что операция дает исходный ряд тогда и только тогда, когда

b. Пусть — целое, , — целое, Будем считать числа в прямом порядке от 1 до , далее в обратном порядке от до 2, затем опять в прямом порядке от 1 до , далее опять в обратном порядке от до 2 и т. д. При таком счете выписываем числа 1-е, и т. д., пока не получим чисел. С этим новым рядом чисел повторим ту же операцию и т. д. Доказать, что операция дает исходный ряд тогда и только тогда, когда

4, При теорему 2, d, § 5 доказать, рассматривая сравнение (вопрос 10, с, гл. IV) и применяя с, § 4, гл. II.

5, а. Доказать, что первообразный корень простого числа вида есть 3.

b. Доказать, что первообразный корень простого числа вида при вида есть 2, а при вида есть —2.

c. Доказать, что первообразный корень простого числа вида есть 2.

d. Доказать, что первообразный корень простого числа вида

6, а. а) Пусть — целое, .

Доказать, что

При обозначениях вопросов 9, с, гл. V доказать, что

b. Теорему Вильсона доказать, применяя b, § 4.

7. Пусть g первообразные корни по модулю При доказать, что:

8. Пусть .

а) Пусть

Доказать, что

Пусть обозначает суммирование, распространенное на

числа 8 ряда взаимно простые с т. Пусть я — целое, превосходящее 1, и

Доказать, что где - число решений сравнения .

7) Пусть - каноническое разложение числа . Доказать, что указанное в вопросе 0) число К решений сравнения не превосходит и что в случае постоянного имеем где — произвольное положительное постоянное.

9. а. Пусть — целое, отличное от 1,

Доказать, что

b. Пусть — целое, — целые, . При доказать, что

с. Пусть и - целые, и - целые, — целое, обозначает число чисел ряда сравнимых по модулю с числами ряда . Доказать, что при будем иметь

Численные примеры к главе 6

1, а. Найти (путем возможно более простых вычислений) показатель, которому принадлежит 7 по модулю 43.

b. Найти показатель, которому принадлежит 5 по модулю 108.

2, а. Найти первообразные корни по модулям 17, 289, 578.

b. Найти первообразные корни по модулям 23, 529, 1058.

c. Найти наименьший первообразный корень по модулю 242.

3, а. Составить таблицы индексов по модулю 17.

b. Составить таблицы индексов по модулю 23.

4, а. Найти первообразный корень по модулю 71, применяя указание примера с, § 5.

b. Найти первообразный корень по модулю 191.

5» а. Пользуясь таблицей индексов, указать число решений сравнений: . Указать число решений сравнений

6, а. Пользуясь таблицей индексов, решить сравнения

. Решить сравнения

7, а. Пользуясь теоремой с, § 5, определить число решений сравнений . Определить число решений сравнений

а)

8, а. Пользуясь таблицей индексов, среди вычетов приведенной системы по модулю 19 указать: а) квадратичные вычеты, кубические вычеты.

b. Среди вычетов приведенной системы по модулю 37 указать: а) вычеты степени вычеты степени 8.

9, а. Среди вычетов приведенной системы по модулю 43 указать: а) числа, принадлежащие показателю 6, первообразные корни.

b. Среди вычетов приведенной системы по модулю 61 указать: а) числа, принадлежащие показателю 10, первообразные корни.

10, Составить таблицы индексов по модулям: