§ 4. Случай составного модуля
a. Двучленные сравнения второй степени по составному модулю исследуются и решаются согласно общим указаниям § 5, гл. IV.
b. Сначала рассмотрим сравнение
где 
— простое нечетное.
Полагая 
, будем иметь 
и если 
есть решение сравнения
то ввиду 
также 
, а так как 
— нечетное, то 
не делится на 
. Поэтому к разысканию решений сравнения (1) можно применить рассуждения b, § 6, гл. IV, причем каждое решение сравнения (2) даст одно решение сравнения (1). Из сказанного выводим, что
Сравнение (1) имеет два решения или же ни одного, в зависимости от того, будет ли число а квадратичным вычетом или же невычетом по модулю 
.
c. Далее рассмотрим сравнение
Здесь 
делится на 2, и потому рассуждения b, § 5, гл. IV неприменимы; они должны быть видоизменены следующим образом:
d. Если сравнение (3) разрешимо, то ввиду 
имеем 
; следовательно 
делится на 8. Поэтому, приводя сравнение (3) к виду
убеждаемся, что для разрешимости этого сравнения необходимо
e. В случаях, когда условия (4) не нарушены, рассмотрим вопрос о разыскании решений и их числе.
Для случаев 
ввиду d сравнению удовлетворяют все нечетные числа.
Поэтому сравнение 
имеет одно решение: 
, сравнение 
имеет два решения: 
, сравнение 
имеет четыре решения: 
.
Для рассмотрения случаев 
все нечетные числа полезно объединить в две арифметические прогрессии:
Посмотрим, какие из чисел (5) удовлетворяют сравнению 
. Находим
Посмотрим, какие из последних чисел удовлетворяют сравнению 
Находим
и т. д. Таким путем убедимся, что при любом 
значения 
удовлетворяющие сравнению (3), представятся в виде
Эти значения к образуют четыре различных решения сравнения (3)
(по модулю 4 два первых сравнимы с 1, а два последних сравнимы с — 1).
Пример. Сравнение
ввиду 
имеет четыре решения. Представляя 
в виде 
, находим
Поэтому решения сравнения (6) будут:
f. Из с, d и e следует:
Для сравнения
необходимыми условиями разрешимости будут: 
при 
при 
. Если эти условия не нарушены, число решений будет: 1 при 
Из b, f и из а, § 5, гл. IV следует:
Для сравнения общего вида
необходимыми условиями разрешимости будут:
ни одно из этих условий не нарушено, число решений будет: 2 при 
и при 
