§ 12. Дифференциал дуги
a. Если кривая задана уравнением
то длина s дуги этой кривой, отсчитываемая от неподвижной точки до подвижной точки М (рис. 31), зависит от положения этой последней точки: она является некоторой функцией абсциссы точки М, или же функцией параметра t, определяющего положение точки М, если кривая задана параметрическим способом.
Рис. 31
Во многих вопросах весьма важно знать производную и дифференциал этой функции.
Для этой цели дадим абсциссе точки М бесконечно малое приращение Тогда точка М передвинется в бесконечно близкое положение , а дуга s получит бесконечно малое приращение Получим
Так как дуга эквивалентна хорде то
b. Что бы мы ни брали за аргумент или какой-либо параметр t, если кривая задана параметрически), всегда
Поэтому имеем (все дифференциалы должны быть выражены через одну переменную)
Пример 1. Для параболы имеем
Пример 2. Для циклоиды
имеем