§ 17. Дифференцирование функций, заданных параметрическим способом
а. Пусть
— параметрическое задание функции. Конечно, исключая из этих уравнений t, можно было бы получить и обыкновенное уравнение, связывающее х и у, и, пользуясь им, найти
Однако такой способ иногда очень затруднителен (например, если уравнения (1) изображают циклоиду), и потому мы постараемся найти
непосредственно на основании уравнений (1).
b. Пусть 
— бесконечно малые приращения переменных 
(например, для циклоиды 
можно рассматривать как бесконечно малые приращения, которые получат угол t и координаты 
точки М, когда эта точка переместится в бесконечно близкое положение 
). Если 
- время и (х; у) - координаты некоторой точки М, движущейся в плоскости 
, то 
обозначают бесконечно малые приращения времени t и этих координат, когда точка М перемещается в бесконечно близкое положение т. Деля числитель и знаменатель на 
имеем из (2)
Но пределы
мы легко найдем, так как нам известны выражения (1) у и 
через 
Ввиду того, что
имеем
А ввиду равенства
имеем
Тогда формула (3) принимает вид
c. Еще раз напомним, что в этой формуле у обозначает производную у по 
т. е. и желая это особенно подчеркнуть, мы можем обозначать эту производную символом 
так что 
Эту производную ни в коем случае не следует смешивать с производной у по t, которую можно обозначать символом 
, так что 
Формулу (4) можно переписать и в другой форме, более удобной для запоминания. Умножая числитель и знаменатель на 
имеем
Но 
суть не что иное, как дифференциалы функций и 
вычисленные в предположении, что аргументом является 
и, следовательно, формулу (4) можно записать еще и так»
Производная функции, заданной параметрическим способом (1), выражается отношением дифференциалов, как и при обычном задании функции, но с тою разницей, что теперь, при вычислении дифференциалов dy и dx, обе переменные 
рассматриваются как функции аргумента 
Рис. 13
е. Для примера найдем угловой коэффициент касательной к циклоиде
в точке 
(рис. 13). Здесь у можно находить или по формуле (4), или же по формуле (5).
Пользуясь, например, формулой (5), имеем
В точке 
имеем
Следовательно, касательная к циклоиде в начале координат перпендикулярна оси абсцисс.
В точке 
имеем
и, действительно, в этой точке касательная параллельна оси абсцисс.
f. В качестве упражнения решим следующую задачу] на циклоиде найти точку, в которой касательная наклонена к оси абсцисс под углом 
Пусть 
- неизвестное значение параметра. Так как по условию должно быть
то, следовательно, t найдется из уравнения
Значит, искомая точка есть 
Ее координатами будут
g. Чтобы вычислить вторую производную у функции у по х, заметим, что у есть производная у по х, т. е.
и, следовательно, ввиду равенств
выражающих 
через t, ее можно представить в форме 
h. Далее, имея выражения 
и 
через t, мы можем найти
i. Пример. На основании равенств
выше мы нашли
Теперь на основании равенств
легко найдем
A на основании равенств
легко найдем
