§ 6. Предел непрерывной функции

a. Наиболее часто в теории пределов приходится решать вопрос о пределе функции: если дана какая-либо функция и аргумент стремится к пределу а, то необходимо знать, стремится ли функция к какому-либо пределу, а если стремится, то к какому именно.

Если с приближением к пределу а функция стремится к пределу b, то это записывается так?

Например, можно писать

b. Для большего уточнения понятия предела функции заметим, что приконечном а приближение к пределу а можно вести двумя способами:

1) со стороны значений (т. е. приближать к а, увеличивая );

2) со стороны значений (т.е. приближать х к а, уменьшая х).

Равенство (1) без оговорок можно писать только тогда, когда приближается к пределу b при обоих указанных способах приближения к а одновременно.

c. В самом деле, бывают случаи, когда в зависимости от способа приближения приближается к разным пределам.

Например, если будем приближать со стороны значений то получим

Приближая же со стороны значений получим

В этих случаях, чтобы отметить способ приближения х к пределу, запись производится так:

d. В отношении тех функций, которые мы имеем в виду рассматривать в дальнейшем, указанный вопрос о пределе функции оказывается вообще весьма простым. Причиною этого является особое свойство этих функций — их непрерывность.

Непрерывной мы назовем всякую функцию обладающую следующими двумя свойствами:

1. Каждому значению отвечает одно определенное конечное значение функции

2. Каково бы ни было выбрано имеем

причем это равенство справедливо независимо от того, стремится ли со стороны значений, меньших или же со стороны значений, больших

e. Часто речь может идти не обо всех значениях аргумента а лишь о тех, которые расположены на определенном отрезке Если для всех значений лежащих на отрезке удовлетворяет обоим условиям непрерывности, то говорят, что функция непрерывна на отрезке

f. Бывает, что нас интересует какое-либо одно значение Если по отношению к этому значению выполнены оба условия непрерывности, то говорят, что при данном значении функция непрерывна.

Если же при каком-либо не выполняется хоть одно из условий непрерывности, то говорим, что при данном значении функция терпит разрыв (непрерывности).

g. Сейчас мы исследуем с точки зрения непрерывности простейшие функции

Для простоты исследуем сначала непрерывность функции

1. Каждому конечному значению отвечает определенный его квадрат т. е. одно определенное конечное значение функции Таким образом, для этой функции первое условие непрерывности выполнено для всех конечных

2. Чтобы проверить второе условие непрерывности, т. е. выяснить, будет ли стремиться когда неограниченно приближается к мы представим в форме

где - бесконечно малая. Тогда имеем

(потому что два последние слагаемые в скобках бесконечно малы при бесконечно малом А). Таким образом, действительно

причем этот результат не зависит от того, считали ли мы при его приближении к нулю отрицательным или же положительным, т. е. считали ли мы при его приближении к х числом, большим или же числом, меньшим Равенство (1) показывает, что для выполнено и второе условие непрерывности. Таким образом, можно сказать, что функция непрерывна для всех конечных

Подобным же путем можно убедиться, что и всякая степенная функция где — целое положительное, будет непрерывной для всех конечных (предлагаем это. сделать самим учащимся, пользуясь биномом Ньютона).

При нецелом и мы рассмотрим функцию лишь для положительных значений Не производя подробного исследования, мы и здесь можем считать очевидным, что непрерывна для всех положительных конечных значений .

Функция а непрерывна для всех конечных значений

О функции мы можем говорить, лишь когда положительно, так как отрицательные числа не имеют логарифмов. При всяком для выполнены оба условия непрерывности. Поэтому мы можем сказать, что непрерывен для всех положительных конечных значений

Из геометрических соображений ясно, что функции непрерывны для всех конечных значений . В отношении функции оба условия непрерывности, очевидно, выполняются для всех конечных значений кроме значений вида

где k целое. Для этих последних обращается в и, таким образом, не удовлетворяет уже первому условию непрерывности, требующему, в частности, чтобы все значения функции были конечными.

Мы можем сказать поэтому, что вообще непрерывен для конечных значений кроме значений вида где он терпит разрывы непрерывности.

Точно так же можно убедиться, что вообще непрерывен для конечных значений кроме значений вида где он терпит разрывы непрерывности.

Что касается функций arcsin и arccos (главные значения), то. о них можно говорить, только когда изменяется на отрезке так как аргумент изображая для первой функции синус, а для второй — косинус, не может по абсолютной величине превосходить 1. В отношении же отрезка и для этих функций, очевидно, выполнены оба условия непрерывности. Следовательно, мы можем сказать, что функции arcsin и arccos непрерывны на отрезке .

Функции arctg и arcctg непрерывны для всех конечных значений

Непрерывными будут и сложные функции, т. е. функции вида

Здесь функция зависит от аргумента через посредство некоторой функции Именно, выражается непосредственно через, а уже выражается через

Функция носит название посредствующей функции или же сложного аргумента.

Например, сложной функцией будет

причем посредствующей функцией здесь является

Докажем в качестве примера непрерывность в интервале .

1. Каждому значению х в интервале отвечает одно определенное положительное (конечное) значение Каждому же положительному значению отвечает одно определенное конечное значение

Таким образом, первое условие непрерывности для функции выполнено.

2. Если стремится к пределу , то (ввиду непрерывности стремится к . Но тогда (ввиду непрерывности логарифма) и будет стремиться к , то есть

Значит, выполнено и второе условие непрерывности.

i. Относительно непрерывности функций, представляющих собой сумму, произведение или частное других непрерывных функций, будет сказано дальше.

]. Изучение непрерывных функций в математике важно потому, что к непрерывным функциям мы обычно приходим и при изучении явлений природы. Например, высота и толщина дерева суть непрерывные функции его возраста; температура охлаждающегося тела — непрерывная функция времени; длина стержня — непрерывная функция температуры и т. д.

к. Переписав второе условие непрерывности в обозначениях пункта (т. е. заменив на на имеем

т. е. предел непрерывной функции находится простой заменой аргумента этой функции тем пределом а, к которому он стремится.

Например,