§ 35. Упражнения

1. Найти длину вектора, заданного проекциями Ответ: .

2. Проверить, что векторная цепь, состоящая из трех векторов с проекциями 2, —4, 4; —3, 2, —5; 1, 2, 2, образует замкнутый треугольник, и затем вычислить периметр этого треугольника. Ответ. периметр 16.

3. Найти направление вектора, заданного проекциями . Ответ:

4. Три силы приложенные к началу координат, направлены по осям координат. Найти длину и направление равнодействующей. Ответ: длина

5. Ребра параллелепипеда имеют длины 2, 6, 9. Найти проекции этих ребер на направление диагонали. Ответ: 4/11, 36/11, 81/11.

6. Три силы с проекциями приложены к одной точке. Найти длину и направление равнодействующей. Ответ: длина

7. Вектор образует с осью угол 60% а с осью — угол 45°. Найти угол, образуемый этим вектором с осью Ответ: .

8. Точке, находящейся в начале координат, сообщены три скорости 9, 8 и 5, каждая образует с осями равные острые углы, но первая лежит в первом координатном угле, вторая — в третьем, накопец, третья — в шестом. Найти, по какому направлению и с какой скоростью начнет двигаться точка. Ответ: скорость

9. Проекции вектора суть 6, 6, 7. Найти его проекции на направление вектора из упражнения 3. Ответ: 38/9.

10. Проекции вектора суть 2, 3, 7. Найти его проекцию на ось с направляющими косинусами 12/13; —3/13; —4/13, проверив сначала, что такая ось существует. Ответ: —1.

11. Найти проекцию силы величиной расположенной в плоскости под углом 30° к оси на направление, образующее с осями равные острые углы (с точностью до 0,01). Ответ:

12. Найти скалярное произведение векторов с проекциями 2, 6 3 и 14 2? 2, Ответ: 20.

13. То же самое для векторов с проекциями . Ответ: 32.

14. Найти косинус угла между векторами из упражнения 12. Ответ: 20/21.

15. Найт и косипус угла между векторами с проекциями . Ответ: 8/9.

16. Найти проекцию первого вектора из упражнения 12 на направление вектора (1, 2, 2). Ответ: 20/3

17. Будут параллельны векторы с проекциями Ответ: да.

18. Будут ли взаимно перпендикулярны векторы с проекциями ? Ответ: да.

19. Какой вид имеют формулы (1) § 3, (1)-(4) § 4, когда вектор лежит в плоскости Ответ

20. Во что обратятся формулы (1), (2), (3), (5) § 5, когда оба направления лежат в плоскости Ответ

21. Во что обратится формула (2) § 5, когда ? Ответ: .

22. Найта периметр треугольника с вершинами . Ответ: 26.

23. Найти периметр треугольника с вершинами Ответ: 120.

24. На оси абсцисс найти точку, равноудаленную от точек . Ответ .

25. Найти центр и радиус шаровой поверхности, про ходящей через точки , Ответ: центр (4; 7; 4), радиус 9.

26. На оси ординат найти такую точку чтобы угол был прямым. При этом , Ответ: ,

27. Разделить отрезок где в отношении Ответ: .

28. Дано . Найти если известно, что точка делит отрезок в отношении Ответ: .

29. В треугольнике с вершинами середины сторон принимаем за вершины нового треугольника. Найти середины сторон этого нового треугольника, Ответ:

30. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку , если известно, что ее направляющий вектор имеет проекции . Ответ: .

31. Найти уравнение плоскости, если известно, что она проходит через точку и перпендикулярна вектору где , Ответ:

32. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки . Ответ: .

33. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки и отсекающей на оси отрезок длиной , Ответ: .

34. Доказать, что уравнение плоскости, отсекающей на осях координат отрезки будет

35. Найти точку пересечения плоскостей Ответ: .

36. Найти косинус острого угла между плоскостями Ответ: .

37. Найти косинус угла между плоскостями Ответ:

38. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной плоскости . Ответ:

39. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной плоскостям Ответ:

40. Найти расстояние от точки до плоскости Ответ: .

41. Найти расстояние плоскости до начала координат. Ответ: 2.

42. Написать уравнение прямой, проходящей через точку если направляющий вектор прямой имеет проекции Ответ:

43. Найти уравнения сторон треугольника из упражнения . Ответ:

44. Написать в виде пропорций уравнения прямой Ответ

45. Найти косинус острого угла между прямой и прямой Ответ: 19/21.

46. Найти синус угла между первой прямой из упражнения 45 и плоскостью Ответ. .

47. Черев точку провести плоскость перпендикулярно второй прямой из упражнения 45. Ответ:

48, Через точку провести прямую перпендикулярно плоскости Ответ:

49. Через точку провести плоскость параллельно прямым Ответ:

50, Доказать, что уравнение

при тип, одновременно не равных нулю, изображает плоскости проходящую через линию пересечения плоскостей

(если, конечно, эти плоскости не параллельны),

51. Доказать что уравнение плоскости, являющейся биссектрисой двугранного угла между плоскостями

будет следующим:

Указание. Если преобразовать уравнения данных плоскостей с тем, чтобы длины направляющих векторов оказались равными (что проще всего сделать, приняв эти длины равными 1), то направляющий вектор биссектрисы явится геометрической суммой этих направляющих векторов. Уравнение второй биссектрисы получим, заменив один из направляющих векторов вектором, ему противоположным.

52. Доказать, что уравнение биссектрисы угла, образуемого пересекающимися прямыми

будет следующим:

53. Посмотреть, что дает метод упражнений 51 и 52 в применении к плоской геометрии.

54. Найти расстояние от точки до прямой Ответ: 1.

55. Вычислить объем тетраэдра с вершинами . Ответ: 0,5.

56. Доказать, что поверхность эллипсоида

получается из шаровой поверхности

если аппликату z каждой точки последней заменить на где

57. Доказать, что поверхность эллипсоида

получается на поверхности эллипсоида

если ординату каждой точки последней заменить на где

58. Пользуясь доказанным в упражнениях 56 и 57, показать, что объем эллипсоида из упражнения 56 будет а объем эллипсоида из упражнения 57 будет

59. Найти точки пересечения поверхности эллипсоида

шаровой поверхности

в плоскости

Отыет:

60. Найти точки пересечения шаровой поверхности

и прямой

Ответ:

61. На параболоиде отыскать точку, равноудаленную от точки , от плоскости и от оси Ответ. .

62. Найти уравнение проекций на плоскости линии пересечения шаровой поверхности и плоскости Ответ: