§ 11. Замечательный тригонометрический предел

а. Пусть имеется выпуклая кривая АВ (на рис. 5 кривая обращена выпуклостью вверх).

Допустим, что в каждой точке этой кривой можно провести касательную и что при беспредельном сблизктии двух точек a u Р кривой угол между касательными, проведенными в этих точках, будет стремиться к нулю. Тогда будем иметь

т. е. отношение длины хорды к длине стягиваемой ею дуги стремится к пределу 1.

Чтобы доказать это, построим равнобедренный с углом при основании; будет, очевидно, лежать внутри него (потому что угол как внешний для больше каждого из углов при его основании ).

Основываясь на известном свойстве выпуклых линий, соединяющих две данные точки, согласно которому объемлющая линия длиннее объемлемой, можем написать (полагая хорда )

Но k равно удвоенной проекции на . Поэтому

Итак, имеем

При неограниченном сближении точек а и угол согласно предположению стремится к нулю. Значит, приближается к 1.

Рис. 5

Рис. 6

Но тогда к 1 должно приближаться и отношение как промежуточное между 1 и , стремящимся к 1, то есть

b. Пусть, в частности, дуга принадлежит окружности радиуса 1. В этом случае, очевидно (рис. 6),

и мы имеем согласно пункту «а»

Для полноты результата покажем, что тот же предел 1 мы получаем и при

Действительно, если отрицательное, то, полагая имеем

Теперь мы можем написать