§ 16. Поворот осей
Теперь рассмотрим второй важный случай преобразования координат, при котором новые оси имеют старое начало координатх но новые направления.
Рис. 75
Пусть новые оси будут причем дается угол , которым определяется положение новых осей относительно старых и который называется углом поворота (рис. 75). Рассмотрим векторную цепь ОКМ и ее замыкающий вектор ОМ.
Проектируя их на старую ось абсцисс, имеем
откуда ввиду того, что
получим
Теперь спроектируем на старую ось ординат:
откуда ввиду того, что
получим
Пример. Упростим уравнение так называемой равнобочной гиперболы (т. е. гиперболы, у которой )
Ввиду асимптоты такой гиперболы взаимно, пер пендикулярны, и их можно принять за новые оси. Эти новые оси обозначим, как указано на рис. 76. Мы видим, что здесь новая ось абсцисс получается из старой поворотом на угол , а потому формулы перехода будут
Вводя это в уравнение (1), имеем
откуда
или, полагая для краткости
имеем новое уравнение нашей гиперболы в виде
т. е. в том виде, как в начале нащей книги.
Рис. 76
Рис. 77