§ 5. Следствия предыдущей теории

a. Пусть — простое нечетное; — одно из чисел наконец, .

b. Пусть тогда:

1. Сравнение

разрешимо (и тем самым а есть вынет степени по модулю ) тогда и только тогда, когда а кратен

В случае разрешимости сравнение имеет d решений.

2. В приведенной системе вычетов по модулю число вычетов степени есть

Действительно, сравнение (1) равносильно такому:

которое разрешимо тогда и только тогда, когда кратен § 2, гл. IV).

В случае разрешимости сравнения (2) найдем d несравнимых по модулю с значений для им отвечает d несравнимых по модулю значений для

Таким образом, верно утверждение 1.

Среди чисел являющихся наименьшими индексами вычетов приведенной системы по модулю , имеется кратных d. Поэтому верно утверждение 2.

Пример 1. Для сравнения

имеем причем не делится на 8. Поэтому сравнение (3) неразрешимо.

Пример 2. Для сравнения

имеем причем делится на 4. Поэтому сравнение (4) разрешимо, причем это сравнение имеет 4 решения. Указанные решения найдем следующим образом.

Сравнение (4) равносильно таким:

Отсюда для найдем 4 несравнимых модулю 40 значения:

соответственно чему найдем 4 решения сравнения (4)

Пример 3. Числа

(5)

индексы которых кратны 4, суть все биквадратичные вычеты (или также все вычеты любой степени где имеющиеся среди наименьших положительных вычетов по модулю 41. Число чисел ряда (5) есть

c. С утверждением b, 1 тесно связано следующее. Чисм а есть вычет степени по модулю тогда и только тогда, когда

Действительно, условие равносильно такому: . Последнее же равносильно условию (6).

Пример. В теореме § 3 невозможность сравнения равносильна условию, что g — невычет степени q по модулю . В частности, невозможность сравнения равносильна условию, квадратичный невычет по модулю (ср. b, § 2, гл. V).

d. 1. Показатель b, которому а принадлежит по модулю , определяется равенством ; в частности, принадлежность а к числу первообразных корней по модулю определяется равенством

2. В приведенной системе вычетов по модулю число чисел, принадлежащих показателю , есть в частности, число первообразных корней есть

Действительно, есть наименьший делитель с с условием . Это условие равносильно

или

Значит, — наименьший делитель с, при котором делит а, отсюда — наибольший делитель с, делящий . Поэтому верно утверждение 1.

Среди чисел являющихся наименьшими индексами вычетов приведенной системы по модулю , кратными у являются числа вида , где . Условие равносильно условию последнему удовлетворяет значений у. Поэтому верно утверждение 2.

Пример 1. В приведенной системе вычетов по модулю 41 числами, принадлежащими показателю 10, являются числа а с условием т. е. числа

Число этих чисел есть

Пример 2. В приведенной системе вычетов по модулю 41 первообразными корнями являются числа а с условием , т. е. числа

Число этих первообразных корней есть