§ 10. Асимптоты. Геометрическое значение b

a. Явному уравнению (4) § 9 гиперболы можно придать следующий вид (беря пока только знак ):

Эта форма уравнения гиперболы позволит нам исследовать, что будет, когда точка М гиперболы удаляется в бесконечности т. е. когда абсцисса точки М бесконечно возрастает.

Если бесконечно возрастает то выражение под знаком радикала, а следовательно, и сам радикал приближается к 1 (потому что дробь имея бесконечно возрастающий знаменатель, приближается к нулю).

b. Попробуем поэтому заменить этот радикал единицей и посмотрим, что тогда сделается с у. Будем иметь

т. е. у обратится в ординату прямой с угловым коэффициентом проходящей через начало координат,

c. Так как отброшенный радикал меньше 1, то т. е. любая ордината прямой больше соответствующей ординаты гиперболы (2). Следовательно, прямая лежит выше гиперболы.

d. Изучим разность между обеими ординатами (на рис. 67 ). Имеем

(потому что отброшенный знаменатель больше 1), Итак, Но при бесконечном возрастании эта дробь стремится к нулю и следовательно, к нулю стремится и

Рис. 67

Итак, при бесконечном возрастании разность

У между ординатами прямой и гиперболы приближается к нулю.

Иными словами, при бесконечном возрастании гипербола приближается к прямой ON. Эта прямая, таким образом, Является асимптотой гиперболы.

e. Ввиду симметрии нижний конец правой ветви гиперболы будет иметь асимптотой прямую у эти же асимптоты

будут служить и асимптотами концов левой ветви гиперболы.

f. Теперь нетрудно установить и геометрическое значение

Действительно, рассмотрим ординату асимптоты, восставленную из вершины А. Ее абсцисса и потому, имея в виду, что координаты точки В должны удовлетворять уравнению (2) асимптоты, получим

Итакг т. е. равно ординате асимптоты, восставленной из вершины гиперболы.

g. Заметим еще, что из треугольника ОАВ ввиду имеем

Этим обстоятельством удобно пользоваться для построения фокуса. Построив точку В по данным откладываем далее на оси