§ 2. Свойства сравнений, подобные свойствам равенств

a. Два числа, сравнимые с третьим, сравнимы между собою.

Следует из а, § 1.

b. Сравнения можно почленно складывать. Действительно, пусть

Тогда (1, с, § 1)

откуда

или

Слагаемое, стоящее в какой-либо части сравнения, можно переносить в другую часть, переменив знак на обратный.

Действительно, складывая сравнение с очевидным сравнением получим

К каждой части сравнения можно прибавить любое число, кратное модуля.

Действительно, складывая сравнение с очевидным сравнением получим

Сравнения можно почленно перемножать. Действительно, рассмотрим снова сравнения (1) и вытекающие из них равенства (2). Перемножая почленно равенства (2), получим

где - целое. Следовательно (1, с, § 1),

Обе части сравнения можно возвести в одну и ту же степень.

Это следует из предыдущего утверждения.

Обе части сравнения можно умножить на одно и то же целое.

Действительно, перемножив сравнение с очевидным сравнением , получим .

d. Свойства b и с (сложение и умножение сравнений) обобщаются следующей теоремой.

Если в выражении многочлена с целыми коэффициентами заменим числами сравнимыми с прежними по модулю , то новое выражение S будет сравнимо с прежним по модулю т.

Действительно, из

находим

откуда, суммируя, получим

Если

то

Это утверждение есть частный случай предыдущего.

e. Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, последний взаимно прост с модулем.

Действительно, из следует, что разность равная делится на . Поэтому делится на , т. е. .