§ 6. Производная постоянного и суммы. Вынесение постоянного множителя за знак производной

a. Постоянное число С также можно рассматривать как функцию х. Только эта функция, в отличие от прочих, все время сохраняет одно и то же значение. Поэтому для функции

имеем

и потому

Итак,

т. е. производная постоянного равна нулю.

b. Геометрически этот результат сделается ясным, если вспомним, что график функции

есть прямая, параллельная оси Ох. А так как касательная в любой точке прямой линии совпадает с этой прямой линией и в рассматриваемом случае параллельна оси абсцисс (рис. 11), то угловой коэффициент касательной равен нулю.

c. Пусть у является суммой двух или нескольких функций

(например, ). Если мы аргументу дадим бесконечно малое приращение , то u, v, w получат свои приращения и перейдут в и Изменение u, v, w вызовет изменение и у, которое получит свое приращение и перейдет в

Рис. 11

Таким образом, после замены на равенство (1) перейдет в такое:

Вычитая из него равенство (1), получим

откуда, деля на имеем

и, переходя к пределу при получаем

Заменяя у его выражением (1), окончательно можно написать

т. е. производная суммы равна сумме производных слагаемых.

Например,

d. Пусть

где а — постоянное и u — функция . Рассуждая подобно предыдущему, имеем

Вычитая отсюда (2), находим

откуда, деля на , получаем

и, переходя к пределу при имеем

Заменяя у его выражением (2), окончательно можно написать

т. е. постоянный сомножитель можно выносить за знак производной.

Например,

е. Доказанное в пунктах позволяет находить производные более обширного класса функций. Например,