§ 2. Сравнения первой степени
а. Сравнение первой степени перенесением свободного члена (с обратным знаком) в правую часть можно привести к виду
b. Приступая к исследованию вопроса о числе решений, мы сначала ограничим сравнение условием 
Согласно § 1 наше сравнение имеет столько решений, сколько вычетов полной системы ему удовлетворяет. Но когда х пробегает полную систему вычетов по модулю 
, то 
пробегает полную систему вычетов (d, § 4, гл. III). Следовательно, при одном и только одном значении 
взятом из полной системы, 
будет сравнимо с b. Итак, при 
сравнение (1) имеет одно решение.
c. Пусть теперь 
Тогда, чтобы сравнение (1) имело решения, необходимо (е, § 3, гл. III), чтобы b Делилось на d, иначе сравнение (1) невозможно ни при каком целом 
Предполагая поэтому b кратным d, положим 
Тогда сравнение (1) будет равносильно такому (по сокращении 
): 
в котором уже 
и потому оно будет иметь одно решение по модулю 
Пусть — наименьший неотрицательный вычет этого решения по модулю 
тогда все числа 
образующие это решение, найдутся в виде
По модулю же m числа (2) образуют не одно решение, а больше, именно столько решений, сколько чисел (2) найдется в ряде 0, 1, 2, 1 наименьших неотрицательных вычетов по модулю 
. Но сюда попадут следующие числа (2):
т. е. всего d чисел (2); следовательно, сравнение (1) имеет d решений.
d. Собирая все доказанное, получаем теорему:
Пусть 
Сравнение 
невозможно, ест b не делится на d. При b, кратном d, сравнение имеет d решений.
e. Обращаясь к разысканию решений сравнения (1), мы укажем только способ, основанный на теории непрерывных дробей, причем достаточно ограничиться лишь случаем 
Разлагая в непрерывную дробь отношение 
и рассматривая две последние подходящие дроби:
согласно свойствам непрерывных дробей (d, § 6, гл. I) имеем
Итак, наше сравнение имеет решение
для разыскания которого достаточно вычислить 
согласно способу, указанному в с, § 6, гл. I.
Пример. Решим сравнение
Здесь 
причем 75 кратно 3. Поэтому сравнение имеет три решения.
Деля обе части сравнения и модуль на 3, получим сравнение
которое нам следует сначала решить. Имеем
Значит, в данном случае 
и мы имеем решение сравнения (4) в виде
Отсюда решения сравнения (3) представляются так: 
т. е.
