§ 8 Пересечение прямых

Точка пересечения прямых

есть общая точка обоих прямых. Она, следовательно, должна одновременно удовлетворять уравнениям обеих прямых, т. е. системе (1),

Обратно, если точка удовлетворяет системе (1), то тем самым она удовлетворяет каждому уравнению системы в отдельности. Следовательно, она лежит на каждой из данных прямых, т. е. является точкой их пересечения.

Итак, координаты точки пересечения обеих прямых получаются совместным решением уравнений (1) этих прямых.

Однако следует помнить, что пересекаются в одной точке только непараллельные прямые, т. е. прямые, для которых

Пример 1. Найдем точку пересечения прямых

Здесь 1/2 не равно —2/1, следовательно, прямые пересекаются в одной точке. Для разыскания координат этой точки решаем уравнения (2) совместно. Умножая второе на 2 и складывая с первым получим

Далее, из второго уравнения получим

Итак, прямые пересекаются в точке (5; —8),

Пример 2, Прямые

параллельны, но не совпадают ввиду того, что но не равно —2/1. Точек пересечения, следовательно, нет

Пример 3. Прямые

сливаются в одну ввиду того, что

Можно сказать, что эти прямые имеют бесчисленное множество точек пересечения, так как все точки обеих прямых являются общими