§ 9. Расстояние от точки до прямой
а. Найдем расстояние d от точки
до прямой
Известно, что расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, ощущенного из точки на прямую. Пусть (х; у) — основание этого перпендикуляра.
Тогда длина вектора
и будет искомым расстоянием Рассмотрю скалярное произведение направляющего вектора PQ и вектора
(рис. 54),
Рис. 54
Так как эти векторы параллельны, то, смотря по тому, будут ли они направлены в одну или же в противоположные стороны (что тоже может случиться), их скалярное произведепие будет
или же
С другой стороны, то же самое скаля рное произведение равно сумме произведений проекций А. и В вектора PQ на соответствующие проекции
вектора
т. е.
Но так как точка
лежит на нашей прямой, то
и потому
Отсюда, замечая, что
и помня, что
как расстояние должно быть положительным, имеем
b. В частности расстояние d от начала координат до прямой
получим, если возьмем
,
Будем иметь
с Примеры, Расстояние от точки (1; 2) до прямой
будет
Расстояние от начала координат до прямой