c. Пусть 
. Тогда 
. Имеем 
. Первообразным корнем по модулю 4 будет, например, 
. Числа 
образуют приведенную систему вычетов по модулю 4.
d. Пусть 
. Тогда 
. Имеем 
. Нетрудно видеть, что первообразных корней в этом случае нет; более точно: показатель, которому принадлежит по модулю 2а нечетное число 
не превосходит 
. Действительно, имеем
При этом числа, принадлежащие показателю 
существуют. Таким числом будет, например, 
. Действительно,
откуда видим, что ни одна из степеней 
не сравнима с 1 по модулю 
Нетрудно видеть, что числа двух следующих строк:
образуют приведенную систему вычетов по модулю 
. Действительно, число этих чисел будет 
числа каждой отдельно взятой строки между собой по модулю 
несравнимы (b, § 1); наконец, числа верхней строки несравнимы с числами нижней, так как первые по модулю 4 сравнимы с 1, а вторые 
e. Для удобства дальнейших исследований мы выразим результаты b, с, d в более единообразной форме, которая будет пригодна и в случае 
Пусть
(таким образом всегда 
), и пусть 
независимо друг от друга пробегают наименьшие неотрицательные вычеты
по модулям с и 
Тогда 
пробегает приведенную систему вычетов по модулю 
.
f. Сравнение
имеет место тогда и только тогда, когда
Действительно, при 
террема очевидна. Поэтому предположим, что 
Пусть наименьшие неотрицательные вычеты по модулям 
, для чисел 
, будут 
а для чисел 
будут 
Ввиду с, § 1 (-1 принадлежит показателю с, а 5 принадлежит показателю 
, сравнение (1) имеет место тогда и только тогда, когда 
, т. е. (ввиду 
) когда 
.
то система 
называется системой индексов числа а по модулю 
.
Ввиду 
всякое а, взаимно простое с 
(т. е. нечетное), имеет единственную систему индексов 
среди 
пар значений 
, указанных в 
.
Зная систему 
мы можем указать и все системы индексов числа а; согласно f это будут все пары 
, составленные из неотрицательных чисел классов
Непосредственно из данного здесь определения системы индексов следует, что числа с данной системой индексов 
, образуют класс чисел по модулю 
.
h. Индексы произведения сравнимы по модулям с и 
с суммами индексов сомножителей.
Действительно, пусть 
— системы индексов чисел 
. Имеем
Следовательно, 
— индексы произведения 
. Тогда 
. Имеем 
Первообразным корнем по модулю 2 будет, например, 1 за 
. Число 
образует приведенную систему вычетов по модулю 2.