§ 2. Эллипс. Построение посредством нитн. Зависимость между полуосями и полуфокусным расстоянием

а. Эллипсом называется геометрическое место точек, для каждой из которых Сумма расстояний до двух данных точек называемых его фокусами, есть величина постоянная.

Рис. 57.

Рис. 58

Постоянную сумму расстояний обозпачим через 2а, так что для любой точки М эллипса имеем (рис. 58).

b. Построение эллипса можно осуществить посредством нити длиной , закрепленной концами в фокусах.

Зацепив нить острием карандаша и двигая его так, чтобы нить все время была в натянутом состоянии, мы заставим острие вычертить эллипс.

Действительно, при любом положении острия карандаша сумма расстояний его до фокусов равна длине нити, т. е. 2а.

Середина расстояния между фокусами называется центром эллипса, так как относительно этой точки эллипс симметричен.

Длина называется фокусным расстоянием, обозначим его через ; а половина этого расстояния называется полуфокусным расстоянием, оно равно с.

Весьма удобно центр эллипса принять за начало координат, а за ось абсцисс принять прямую, проходящую через фокусы (как на рис. 58), Тогда координаты фокусов будут

Всякий отрезок, соединяющий две точки эллипса, если он проходцт через центр, называется диаметром эллипса. Рассматривая форму эллипса, мы видпм, что наибольший диаметр проходит через фокусы. Этот диаметр называется большой осью эллипса.

Нетрудно показать, что длина большой оси эллипса равна 2а.

В самом деле, основное свойство эллипса (1), справедливое для всех его точек, применимо, между прочим, и для точек . Поэтому

Но из рис» 58 видно, что

Ввиду этого из равенства (2) получаем или Ясно, что и так что

Число а называется большой полуосью. Мы видим также, что наименьший диаметр эллипса перпендикулярен наибольшему, его называют малой осью эллипса и обозначают через 26, так что

Число 6 называется малой полуосью. Концы осей, т. е. точки называются вершинами эллипса.

Очевидно, основное свойство эллипса применимо и для вершин Применяя его, например, к вершине получим а так как то или

После втого из прямоугольного треугольника найдем очень важное соотношение между полуосями и полуфокусным расстоянием эллипса:

или

Нетрудно понять, что эллипсы могут быть различной формы, причем при заданной длине нити форма эллипса зависит только от расстояния между фокусами, т. е. при заданном а форма зависит только от с. Проследим эту зависимость.

Допустим, что фокусы сближаются и, наконец, сливаются с началом координат, тогда эллипс постепенно обратится в окружность, так как отрезки будут стремиться совпасть, и когда они совпадут, нить, при помощи которой чертится эллипс, будет действовать наподобие циркуля.

Наоборот, если фокусы отодвигаются от начала координат, то эллипс постепенно сплющивается, и когда фокусы совпадут с концами большой оси, нить совпадет с осью абсцисс и острие будет двигаться только по отрезку так что эллипс вырождается в прямолинейный от резок

Степень сжатия эллипса принято характеризовать дробью

Эта дробь называется аксцентриситетом эллипса. Из вышесказанного следует, что он может изменяться от нуля до единицы, причем для окружности эксцентриситет

а для эллипса, выродившегося в прямолинейный отрезок,