§ 31. Винтовая линия
а. В качестве примера мы выведем параметрические уравнения винтовой линии. Эту кривую можно получить следующим образом.
Прямой круговой цилиндр с радиусом основания а обертываем листом бумаги, как показано на рис. 121.
Рис. 121
Этот лист имеет форму треугольника с основанием А В, равным длине 
окружности основания цилиндра, и высотой h (h — шаг винта). Сторона АС треугольника и нарисует на цилиндре винтовую линию.
b. Выведем параметрические уравнения винтовой линии, принимая за параметр t угол 
(считая здесь положительным то вращение, которое идет от оси 
к оси 
). Точка 
является проекцией точки М на плоскость 
. Абсцисса 
и ордината у точки 
совпадают с абсциссой и ординатой ючки М — они суть проекции вектора 
на оси 
и равны
Что касается аппликаты z точки 
то ее лучше всего найдем из рассмотрения 
в виде, еще не навернутом на цилиндр. Здесь 
выпрямленная дуга в верхней части рис. 121 и, следовательно,
(дуга измеряется произведением радиуса на угол). Имеем пропорцию
откуда
Итак, параметрическими уравнениями винтовой линии будут
