§ 3. Классификация математических функций

a. Если сказано, что

есть функция математическая, то правая часть равенства (1) представляет собой формулу. Здесь буква обозначает те действия, которые нужно совершить над аргументом для того, чтобы вычислить функцию. По характеру этих действий мы и будем классифицировать функции.

b. Если в состав формулы входят только алгебраические действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня, совершаемые над аргументом в ограниченном количестве, то функция называется алгебраической.

Все остальные функции называются трансцендентными.

c. Например, функция

будет алгебраической.

Напротив, функция

трансцендентати.

d. Алгебраические функции разделяются на рациональные и иррациональные. Рациональной называется такая функция, в которой ни разу над аргументом не со вершается извлечение корня или возведение в дробную степень. В противном случае функция называется иррациональной.

Например, функции

суть функции рациональные. Наоборот, функция, приведенная в пункте с, иррациональная.

e. Иррациональные функции не подразделяются, а рациональные подразделяются на целые и дробные.

Целыми функциями называются такие, где аргумент ни разу не встречается в внаменателе, в противном случае мы имеем дробную функцию.

Например, функци

целые. Напротив, функции, приведенные в пункте d, дробные.

f. В свою очередь целые функции еще подразделяюто на порядки, прочем порядком называется наибольшая степень, в которую возводится аргумент. Общий вид функции первого порядка:

где а и b — постоянные числа, . Общий вид функции второго порядка:

Наконец, общий вид функции n-го порядка

g. Дробные функции далее никак не подразделяются. Общим видом любой дробной функции будет частное от деления двух целых функций:

h. Имеется очень большое число типов трансцендентных функций. Мы будем здесь говорить только о тех, с которыми мы встречаемся в элементарной математике

К числу их относятся тригонометрические функцищ затем логарифмические функции

далее, функции типа

называемые показательными; наконец, так называемые обратные тригонометрические функции, с которыми мы познакомимся дальше.

Эти перечисленные функции называются элементар ными трансцендентными функциями.

k. Теперь проведем классификацию несколько по другой линии. Мы еще будем подразделять функции на явные и неявные. Все функции, о которых мы говорили выше, называются явными. Они характеризуются тем, что зависимая переменная прямо дается формулой, содержащей аргумент.

Но может оказаться, что функция задается уравнением, где в одной части равенства находятся и зависимая переменная, и независимая. Например, пусть дано уравнение

Здесь, очевидно, у зависит от , но непосредственно выражением, содержащим , не задается.

Такая функция называется неявной. Ее можно сделать явной, если разрешить уравнение относительно у

если обозначить — то мы получим

Заметим попутно, что уравнение вида (1) всегда неявно выражает функцию первого порядка.

1. Общий вид неявной функции одной переменной будем записывать так:

т. Возьмем еще пример. Пусть дана неявная функция у от , определяемая уравнением

Сделаем ее явной; для этого решим уравнение от восительно у:

Мы здесь видим, что одному значению отвечает не одно значение у, а два, так как мы можем брать перед корнем как знак плюс, так и знак минус. Такая функция называется двузначной. Могут быть функции трехзначные, четырехзначные и т. д., вообще многозначные.

Чтобы лучше понять последние случаи, покажем на чертеже, как может случиться, что функция будет, например, трехзначной.

Пусть функция задана графически кривой линией

Рис. 32

На рис. 32 мы видим, что каждому значению х в интервале от а до соответствуют три значения у.

а. Заметим, что изучение многозначных функций сводится к изучению однозначных. Действительно, можно, например, отдельно рассмотреть выражение (2) пункта , взяв в нем перед корнем знак плюс, а потом отдельно взять знак минус. Следовательно, вместо одной двузначной функцйи мы будем изучать две однозначные. Поэтому в дальнейшем мы исключительно будем заниматься только изучением однозначных функций.

о. Сделаем еще одно замечание по отношению к неявным функциям.

Было бы ошибкой думать, что мы всегда можем неявную функцию превратить в явную, практически это сделать иногда нельзя.

Например, если мы пожелаем решить уравнение

относительно у, то этого сделать совершенно невозможно. Следовательно, у здесь не может быть сделан явной функцией х.

p. Все, что было сказано в этом параграфе относительно классификации функций одной переменной, можно без всяких оговорок повторить и для функций многих переменных.