§ 5. Производные трех простейших функций
a. Как увидим далее, разыскание производных многих функций сводится к разысканию производных так называемых простейших функций
Математические выражения этих производных выводятся раз навсегда, и их учащиеся должны помнить наизусть.
b. Первой выведем производную функции
где 
— целое положительное. Здесь (аналогично будем поступать и дальше для обозначения производных других функций) наряду с обозначениями 
можно пользоваться и таким обозначением производной:
Имеем
Итак, имеем при целом положительном 
Например, 
и т.д. В частности, 
Итак,
Этот результат можно было предвидеть и из геометрических соображений. Действительно, график функции 
есть прямая линия. А так как касательная в любой точке прямой линии, очевидно, совпадает с самой прямой линией, то угловой коэффициент касательной тот же, что и у прямой у=х, т. е. 1.
с. Найдем производную функции
предполагая 
положительным). Здесь имеем
Отношение
бесконечно мало (ввиду бесконечно малого числителя) и потому может быть представлено в виде дроби
с бесконечно большим знаменателем 
. Из (1) находим
и выражение для у перепишется так:
откуда ввиду 
(натуральный логарифм) получим, наконец,
Итак,
d. Найдем производную функции
Здесь, применяя формулу разности синусов, имеем
Итак,
