§ 2. Производная как предел
а. Касательную в точке М можно рассматривать как предельное положение секущей 
проходящей через точку М и через бесконечно близкую в ней точку m (точка М остается неподвижной, а точка m к ней неограниченно приближается; рис. 9). Соответственно этому угол а наклона касательной к оси абсцисс можно рассматривать как предел переменного угла а наклона секущей 
к оси абсцисс. Из 
имеем 
Рис. 9
Поэтому
или ввиду того, что 
(действительно, 
, где 
), имеем
Словами ее можно сформулировать так: Производная есть предел отношения приращения 
функции к вызвавшему его бесконечно малому приращению 
аргумента (при стремлении последнего к нулю).
остается постоянным (как абсцисса неподвижной точки М). Переменным является 
(стремящееся к нулю ввиду неограниченного приближения точки 
к М). Следует также помнить, что предел должен быть один и тот же, независимо от знака 
т. е.. независимо от того, приближается ли точка 
к М с правой стороны или же с левой.
