§ 4. Уравнение эллипса
а. Для любой точки 
эллийса (рис. 60) мы должны иметь
Очевидно, 
есть расстояние между точками 
, точно так же 
есть расстояние между точками 
.
Рис. 60
Поэтому но формуле расстояния между двумя точками получим
Подставляя эти выражения в равенство (1), получим
Это и есть уравнение эллипса, но оно имеет довольно сложный вид, а потому мы постараемся его упростить. А именно, перенося первый радикал в правую часть, мы возведем в квадрат обе части уравнения, благодаря чему освободимся от одного радикала:
Раскрывая скобки в левой и правой части и вычеркивая из обеих частей равенства одинаковые члены, получйм
Теперь уединим оставшийся радикал и, сократив обе части уравнения на 4а, получим
Последнее равенство понадобится нам 
дальнейшем, но сейчас мы еще раз возведем в квадрат обе его части, чем избавимся от поеледнего радикала:
или, приводя подобные члены, имеем
Разделив обе части равенства на 
, получим
Вспоминая теперь, что 
, получим уравнение эллипса в простейшем виде
Последнее уравнение получено путем упрощения основного уравнения (2), поэтому координаты каждой точки эллипса ему удовлетворяют. Следует, впрочем, заметить, что, производя упрощения, мм два раза позволили себе возводить обе части уравнения в квадрат. Это обстоятельство имеет немаловажное значение, так как из алгебры мы знаем, что при возведении уравнений в квадрат могут появиться посторонние решения, а потому не исключена возможность, что уравнению (3) удовлетворяют координаты каких-либо точек, не принадлежащих эллипсу. Однако в данном случае эти опасения не оправдываются. Мы сейчас покажем, что никакие точки, же принадлежащие эллипсу, не удовлетворяют уравнению (4). Для этого решим уравнение (4) относительно у. Тогда будем иметь
b. Рассматривая полученное уравнение, мы видим, что, во-первых, абсциссы не могут по численной величине превосходить число а, так как иначе правая часть равенства (6) будет мнимой.
Во-вторых, каждой абсциссе соответствуют численно равные и противоположные по знаку ординаты. Но то же самое мы наблюдаем и на чертеже эллипса, сделанном посредством нити. Поэтому уравнение (5) вполне соответствует чертежу и, следовательно, не может удовлетворяться никакими точками, кроме точек эллипса.
