§ 3. Частные производные и полный дифференциал сложной функции многих переменных
а. Пусть имеется функция
Представим себе, что переменные 
и у не являются независимыми, а представляют собой функции какой-либо третьей переменной и, которая и является независимой:
Таким образом, фактически 
является функцией только одной переменной и, но зависит от и через посредство х и у. Мы будем говорить, что 
есть сложная функция 
.
Дадим и приращение 
Тогда 
получат приращения 
Предположим, что функция 
имеет непрерывные частные производные по х и по у: Тогда, повторяя рассуждения пункта 
предыдущего параграфа, мы вновь получим формулу
Разделим обе части равенства на 
и предположим, что 
и у имеют производные по 
. Тогда мы можем перейти к пределу, заставляя 
стремиться к нулю. Так как в пределе Е и 
обратятся в нуль, то мы получим
Равенство (5). называется формулой для полной производной сложной функции.
b. Умножим обе части равенства (5) на 
тогда получим полный дифференциал сложной функции
Итак, внешний вид полного дифференциала не зависит от того, являются лих и у независимыми переменными или 
являются функциями какой-либо третьей переменной. Это важное свойство называется законом инвариантности полного дифференциала.
c. Закон инвариантности имеет место даже и в том случае, если 
являются функциями не одной, а двух или большего числа переменных. Докажем это.
Пусть 
являются функциями двух независимых переменных:
Дадим переменной и приращение 
оставим постоянной. Тогда 
и А у получат приращения 
Повторяя все рассуждения пункта «b» предыдущего параграфа, мы опять получим формулу (4). Однако теперь, когда мы устремили А и к нулю, в пределе мы должны будем всюду написать не прямые d, а круглые д ввиду того, что 
зависят не только от и, но также еще и от и, и, следовательно, мы получим частные производные.
Таким образом, формула для полной частной производной по и имеет вид
Если мы дадим переменной приращение 
, а и оставим постоянной, то получим формулу для полной частной производной по 
Далее, умножим равенство (7) на 
, а равенство (8) на 
и сложим их почленно:
Так как
то, подставляя (10) в (9), получим
Если х и у зависят от трех или большего числа независимых переменных, закон инвариантности доказывается так же.
d. Закон инвариантности полного дифференциала имеет огромное значение как для математики, так и для прикладных наук.
Опираясь на него, мы можем вычислять полный дифференциал, не задумываясь над тем, являются ли 
и у независимыми переменными или же функциями. Часто это весьма важно, так как в прикладных науках нередко мы не знаем, являются ли переменные, от которых зависит функция, независимыми.
e. Докажем некоторые свойства полного дифференциала, опираясь на закон инвариантности.
Пусть и является функцией 
переменных 
Вообразим временно, что 
суть функции какой-либо новой переменной t. Тогда и и будет функцией переменной 
Из этого следует, что полный дифференциал совпадает с простым дифференциалом, а потому к полному дифференциалу можно применить все свойства простого дифференциала. Применив какое-либо свойство, мы можем опять забыть про t и считать переменные 
независимыми. Таким путем, например, найдем, что правила дифференцирования суммы, произведения, дроби и т. д. применимы и для полного дифференциала:
и т. д.
f. Последняя формула свидетельствует о том, что логарифмическое дифференцирование применимо и к нахождению полного дифференциала. Все это может значительно облегчить нахождение полного дифференциала.
Приведем примеры.
Пример 1. Найти полный дифференциал функции
Воспользуемся логарифмическим дифференцированием!
откуда
Пример 2. Найти полный дифференциал функции
Имеем
