§ 5. Сравнения любой степени по составному модулю
а. Если 
попарно простые, то сравнение
равносильно системе
При этом, обозначая через 
числа решений отдельных сравнений этой системы по соответственным модулям и через Т — число решений сравнения (1), будем иметь
Действительно, первая часть теоремы следует из с и d, § 3, гл. III. Вторая часть следует из того, что каждое сравнение
выполняется тогда и только тогда, когда выполняется одно из 
сравнений вида
где 
пробегает вычеты решений сравнения (2), причем возможно всего 
различных комбинаций вида
приводящих (с, § 3) к различным классам по модулю
Пример. Сравнение
равносильно системе
Легко убедимся (§ 1), что первое сравнение этой системы имеет 2 решения: 
второе же сравнение имеет 3 решения: 
Поэтому сравнение (3) имеет 
решений. Чтобы найти эти 6 решений, надо решить 6 систем вида
которые получим, заставляя 
пробегать значения 
, пробегать значения 
. Но, ввиду
совокупность значений 
удовлетворяющих системе (4), представится в виде (b, § 3)
Поэтому решения сравнения (3) будут
Ввиду теоремы а исследование и решение сравнения
сводятся к исследованию и решению сравнений вида
это же последнее сравнение сводится вообще, как мы сейчас выясним, к сравнению
Действительно, всякое 
удовлетворяющее сравнению (5), необходимо должно удовлетворять и сравнению (6). Пусть
— какое-либо решение сравнения (6). Тогда 
, где 
— целое. Вставляя это значение 
в сравнение
и разлагая левую часть по формуле Тейлора, найдем (принимая во внимание, что 
и отбрасывая члены, кратные 
)
Ограничиваясь здесь случаем, когда 
не делится на 
, имеем одно решение:
Выражение для 
принимает вид
вставляя его в сравнение
получим
Здесь 
не делится на 
, так как
и потому последнее сравнение имеет одно решение:
Выражение для 
принимает вид
и т. д. Таким путем по данному решению сравнения (6) постепенно найдем сравнимое с ним решение сравнения (5). Итак, всякое решение 
сравнения (6) при условии, что 
не делится на 
, даст одно решение сравнения (5):
Пример. Решим сравнение
Сравнение 
имеет одно решение 
при этом 
и, следовательно, не делится на 3.
Находим:
Таким образом сравнение (7) имеет одно решение
