Тогда приращения МК и КL, которые теперь получат и у, следуя уже не по кривой, а по касательной, обозначаются через
и называются - дифференциалом аргумента, -дифференциалом функции.
Мы видим, что т. е. дифференциал аргумента в точности совпадает с бесконечно малым приращением аргумента.
Что же касается дифференциала функции, то он, вообще говоря, не совпадает с истинным приращением функции (равным ), а является лишь приближенным выражением тем лучшим, чем меньше
Из имеем
а так как
то
т. е. дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента.
c. Выясним теперь разницу между истинным приращением функции и ее дифференциалом Из определения производной имеем
Следовательно,
где - бесконечно малая,
(ввиду ).
Мы видим отсюда, что истинное приращение функции состоит из двух слагаемых. Первое из них
есть бесконечно малая того же порядка, что и (за исключением случаев, когда Оно как раз и совпадает с
Второе же слагаемое
Оно является разностью между . Геометрически оно изображается отрезком
Итак, истинное приращение функции равно дифференциалу функции, сложенному с бесконечно малой порядка, высшего чем
В приложениях часто можно заменять на
Можно высказать утверждение, до известной степени обратное равенству (1):
Если мы каким-либо образом выразим через в форме
где а — бесконечно мешая, то непременно
Действительно, из (2) имеем
Например, если то из
мы можем теперь сразу заключить, что
потому что есть бесконечно малая порядка, высшего чем