Вопросы к главе 5

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Пред.

След.

Вернуться к книге

Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Вопросы к главе 5

Буквою здесь всегда обозначаем простое нечетное число.

1. Доказать, что разыскание решений сравнения вида

сводится к разысканию решений сравнения вида

2, а. Пользуясь b, § 2, найти решения сравнения (в случае его возможности)

b. Пользуясь b и h, § 2, указать способ разыскания решений сравнений вида

c. Указать возможно более простой способ разыскания решений сравнений вида

в случае, когда известен некоторый квадратичный невычет N по модулю .

d. Пользуясь теоремой Вильсона, доказать, что решения сравнения

будут

3. а. Доказать, что сравнение

разрешимо тогда и только тогда, когда имеет вид сравнение

разрешимо тогда и только тогда, когда имеет вид или сравнение

разрешимо тогда и только тогда, когда имеет вид

Доказать бесконечность числа простых чисел вида

4. Пусть, разбивая числа на две совокупности, вторая из которых содержит не менее одного числа, имеем: произведение двух чисел одной совокупности сравнимо по модулю с числом первой совокупности, а произведение двух чисел различных совокупностей сравнимо по модулю с числом второй совокупности. Доказать, что это будет тогда и только тогда, когда первая совокупность состоит из квадратичных вычетов, а вторая — из квадратичных невычетов по модулю .

5. а. Вывести теорию сравнений вида

представляя а и в системе исчисления с основанием .

b. Вывести теорию нений вида

представляя а и в системе исчисления с основанием 2.

6. Доказать, что решения сравнения

будут где

7. Указать способ решения сравнения в основанный на том обстоятельстве, что указанное сравнение равносильно такому:

8. Пусть при

a. При доказать, что

b. Пусть каждое из чисел имеет одно из значений — число пар где с условием

Доказать, что

c. Пусть

где и у пробегают возрастающие последовательности, составленные соответственно из X и Y вычетов полной системы по модулю р. Доказать, что

Для доказательства следует воспользоваться неравенством

d. Пусть - целое,

а) Доказать, что

Р) Пусть -постоянное; Доказать, что число Т чисел ряда для которых не выполняется условие удовлетворяет условию

Пусть М — целое, Доказать, что в ряде

имеется квадратичный невычет по модулю .

9, а. Доказать, что число представлений целого в виде

равно числу решений сравнения

Для доказательства, положив воспользоваться представлением согласно теореме вопроса 4, b, гл. I, и рассмотреть сравнение, получаемое почленным умножением (2) на

Пусть а — одно из чисел 2 и 3. Доказать, что число представ лений простого с условием в виде

равно половине числа решений сравнения

c. Пусть имеет вид

Доказать, что - четное число.

При имеем

10. Пусть - целое положительное, не являющееся квадратом целого числа. Доказать, что:

a. Если при данном целом k уравнению

удовлетворяют две пары целых то уравнению

удовлетворяют целые , определяемые равенством (знак ± выбирается произвольно)

b. Уравнение (уравнение Пелля)

разрешимо в целых положительных х, у.

c. Если — пара положительных х, у с наименьшим (или, что равносильно, с наименьшим ), удовлетворяющая уравнению (1), то все пары положительных у, удовлетворяющие этому уравнению, определяются равенством