§ 6. Направление выпуклости, точки перегиба

a. Обращаясь к прилагаемому мы видим, что изображенная на нем кривая может быть разбита на участки двух типов, а именно участки АВ и CD, выпуклые вверх (в сторону положительных ординат), и участки ВО и DE, выпуклые вниз (в сторону отрицательных ординат).

b. Если мы (непрерывно увеличивая абсциссу) будем перемещать точку М по участку АВ кривой, выпуклому вверх, то угол а будет уменьшаться (например, в точках значения угла на нашем чертеже будут приблизительно такие: 75°, 60°, 30°, 0°, —45°, —75°).

Рис. 26

Одновременно с убыванием а будет убывать и , т. е. у.

Итак, участки графика, выпуклые вверх, отвечают интервалам убывания

c. Если мы (непрерывно увеличивая абсциссу) будем перемещать точку М по участку ВС кривой, выпуклому вниз, то угол а будет увеличиваться (например, в точках значения угла а на рис. 26 будут приблизительно такие: —75°, —45°, 0°, 30°, 75°). Одновременно с возрастанием а будет возрастать и , т. е. у.

Итак, участки графика, выпуклые вниз, отвечают интервалам возрастания

d. Точки, отделяющие участки, выпуклые вверх, от участков, выпуклых вниз, носят название точек перегиба (на рис. 26 это будут точки В, С и ).

Нетрудно видеть, что если до точки перегиба был участок, выпуклый вниз, а потом стал участок, выпуклый вверх (как, например, для точки С), то такая точка соответствует максимуму у, потому что здесь у переходит от возрастания к убыванию.

Наоборот, две другие точки перегиба В и D соответствуют минимумам у, потому что здесь у переходит от убывания к возрастанию.

Таким образом, точки перегиба происходят от того, что у имеет максимумы и минимумы. Посмотрим, как будут влиять на вид графика точки замедления у. Очевидно, особенного влияния не будет, так как если, например, до точки замедления у эта функция возрастала, то она будет возрастать и после. Угол а будет в общем все время возрастать, лишь на одно мгновение останавливаясь в своем росте при значении отвечающем точке замедления

е. Замечая, что производной у является :

(на графике, ординатой которого является у, угловым коэффициентом касательной будет служить ), из пункта «b» заключаем, что:

на участках графика, выпуклых вверх, имеем

на участках графика, выпуклых вниз, имеем

В точках перегиба (точках замедления у)

Пример. Для параболы имеем (если Поэтому парабола обращена выпуклостью вниз.