§ 13. Задачи на прямую линию

1а. Написать уравнение прямой, проходящей через точку , если известно, что перпендикулярный к прямой направляющий вектор имеет проекции Ответ:

Написать уравнение прямой» если известно, что она проходит через начало координат, а ее направляющий вектор имеет проекции Ответ:

2а. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М (0; 5), если известно, что проекция направляющего вектора на ось абсцисс в три раза больше его проекции на ось ординат. Ответ:

Написать уравнение прямой, проходящей через точку М (1; 1), если ее направляющий вектор является биссектрисой второго координатного угла. Ответ:

3а. Каковы проекции направляющего вектора для прямой

и какова длина этого вектора? Ответ: длина вектора равна 17.

3b. Что произойдет с направляющим вектором прямой

если обе части уравнения умножить на какое-либо положительное число N? Ответ: направляющий вектор изменит свою длину в N раз, но направление его не изменится.

4а. Проверить, лежит ли точка (5; 7) на прямой Отвёт; лежит

4b. На прямой найти точку, у которой абсцисса

5а. Найти на прямой такую точку, у которой абсцисса равна ординате. Ответ:

5b. На прямой найти такую точку, у которой абсцисса в десять раз больше ординаты. Ответ: .

6а. На прямой найти точку, у которой абсцисса на 4 больше ординаты. Ответ:

6b. На прямой найти точку, у которой ордината Ответ:

7а. На прямой найти точку, равноудаленную от в (2; 1). Ответ: (3; 3).

7b. На прямой найти точку, равноотстоящую от точек (1; 1) и (4; 2). Ответ: (2; 3),

8а. Построить прямые:

8b. Построить прямые:

9а. Какая прямая имеет уравнение

Какая прямая имеет уравневие ?

10а. Построить прямые:

10b. Построить прямые:

11а. Вычислить тангенс острого угла между прямыми Ответ: . Вычислить тангенс острого угла между прямыми . Ответ:

12а. Найти острый угол между прямыми Ответ: 45°,

12b. Найти острый угол между прямыми . Ответ: .

13а. Привести к виду с угловым коэффициентом уравнения прямых:

13b. Найти острый угол между прямыми . Ответ: .

14а. Вычислить тангенс острого угла между прямыми Ответ:

14b. Вычислить тангенс острого угла между прямыми и

14с. Вычислить тангенс угла между прямыми Ответ:

15а. Будут ли параллельны прямые

Будут ли параллельны прямые

16а. Будут ли перпендикулярны прямые

16b. Будут ли перпендикулярны прямые

17а. Даны прямые:

Какие из них параллельны и какие перпендикулярны?

17b. Почему следует считать, что прямые

параллельны?

17с. Почему следует считать, что прямые

перпендикулярны?

18а. Через точку (5; 2) провести прямую параллельно прямой Ответ:

18b. Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой . Ответ:

19а. Через точку провести прямую перпендикулярно прямой . Ответ: . Через точку провести прямую перпендикулярно прямой . Ответ: .

20а. Через точку провести прямую параллельно прямой . Ответ: .

20b. Через точку (3; —1) провести прямую перпендикулярно прямой . Ответ: .

21а. Через точку провести прямую под углом 45° к прямой . Ответ:

Через точку провести прямую под углом 45° к прямой . Ответ:

22а. Через точку (1; 2) провести прямую, наклоненную к прямой под углом, тангенс которого равен 5. Ответ: .

22b. Через точку (3; —4) провести прямую, наклоненную к прямой под углом, тангенс которого равен 2. Ответ:

23а. Совпадают ли прямые ? Ответ: совпадают,

23b. Совпадают ли прямые ? Ответ: не совпадают.

24а. Найти точку пересечения прямых . Ответ: .

24b. Найти точку пересечения прямых . Ответ:

25а. Пересекаются ли прямые Если нет, то почему?

25b. Можно ли сказать, что совпадающие прямые пересекаются? Если да, то сколько точек пересечения имеют совпадающие прямые?

26а. Найти координаты вершин треугольника, если стороны заданы уравнениями . Ответ: (1; 2), (2; 1), (3; 3).

26b. Найти вершины треугольника, если его стороны заданы уравнениями Ответ: .

27а. Через точку пересечения прямых провести прямую параллельно примой Ответ:

Через точку пересечения прямых провести прямую перпендикулярно прямой

28а. Написать уравнение высоты треугольника, образованного прямыми если известно, что высота опущена из точки пересечения первых двух прямых на третью. Ответ:

28b. Через точку пересечения прямых провести прямую параллельно прямой Ответ:

29. Через точку пересечения прямых провести прямую перпендикулярно прямой в 0. Ответ:

30а, Найти расстояние от точки (1; 1) до прямой Ответ:

Доказать, что расстояния от точки до прямых одинаковы (равны 2).

31а. Доказать, что расстояние между двумя параллельными прямыми выражается формулой

Найти расстояние между параллельными прямыми Ответ:

Найти расстояние между параллельными прямыми Ответъ

32а. Написать уравнение прямой, параллельной прямым и проходящей посередине между ними. Ответ:

Написать уравнение прямой, параллельной прямым и делящей расстояние между ними в отношении в направлении от первой прямой ко второй. Ответ:

32с. Провести прямую параллельво прямым

расположенную между ними так, чтобы расстояние ее до первой прямой было в два раза больше расстояния до второй прямой. Ответ: .

33. Проследить за тем, какой знак имеет выражение

для различных точек плоскости:

a) Для точек, лежащих выше прямой Ответ: при — при .

b) Для точек, лежащих ниже этой прямой. Ответ: — при. при .

c) Для точек, Лежащих справа от этой прямой Ответ: при — при .

d) Для точек, лежащих слева от этой прямой. Ответ: — при при

е) Для точек, лежащих по ту же сторону от прямой, что и начало координат. Ответ: при — при

f) Для точек, лежащих по другую сюрону от начала координат относительно этой прямой. Ответ: — при при .

34а. Узнать, лежит точка (1; 2) выше или ниже прямой Ответ: выше.

34b. То же для точки относительно прямой Ответ: выше.

34с. Лежнт ли точка (3; 7) справа или слева от прямой Ответ: слева.

35а. Лежат ли точка и начало координат по одну сторону или по разные стороны относительно прямой Ответ: по одну сторону.

35b. Лежат ли точки (1; 2) и одну или разные стороны от прямой Ответ: по разные стороны.

36. Доказать, что точка (2; 2) находится внутри треугольника, заданного уравнениями сторон

37а. Доказать, что если даны прямые то уравнения обеих биссектрис двух смежных углов, образованных этими прямыми, будут

37b. Написать уравнение биссектрисы того угла между прямыми в котором лежит точка Ответ:

38. Черев точку (1; 1) провести прямую, равноудаленную от точек (6; 1) и (2) 5) и проходящую между ними, Ответ:

39а. Вывести формулу для вычисления расстояния от точки до прямой, исходя из тех соображений, что удвоенная площадь треугольника вершинами которого служат точки пересечения прямой с осями и данная точка выражается произведением искомого расстояния на длину

39b. Доказать, что расстояние от начала координат прямой - выражается формулой

40. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (1; —1) и отстоящей от точки (4; 0) на расстояние 1. Ответ: две прямые

41. Через точку (1; 0) провести прямую, проходящую над точкой (10; 3) на расстоянии 3 единиц от последней» Ответ:

42. Написать уравнение прямой параллельной прямой

и отстоящей от нее на расстояние 2 единиц. Ответ: две прямые

43а. Найти отражение точки (1; 8) относительно прямой как в зеркале. Ответ: (7, 0). Указание. Отражением точки М относительно прямой РХР называется точка лежащая на продолжении перпендикуляра, опущенного на прямую из точки причем прямая делит расстояние между М и пополам.

43b. Найти отражение точки (3; 3) относительно прямой Ответ:

44а. Написать уравнения сторон треугольника с вершинами . Ответ:

Написать уравнения сторон треугольника, заданного вершинами Ответ:

45а. Провести прямую через точку (1; 2) и через точку пересечения прямых . Ответ:

Провести прямую через точку точку пересечения прямых Ответ

Через точку пересечения прямых провести прямую так, чтобы ее начальная ордината (отрезок на оси ординат) равнялась . Ответ:

46. Даны вершины треугольника Написать уравпение высоты, опущенной из точки Ответ:

47. Найти площадь треугольника по координатам его вершин вычисляя длину стороны и опущенного на нее перпендикуляра.

48а. Привести к виду в отрезках на осях уравнение и построить эту прямую. Ответ;

48b. Привести к виду в отрезках на осях, а затем построить прямые:

49. Отрезки, отсекаемые прямой на осях, суть Написать уравнение прямой в форме с углбвым коэффициентом. Ответ:

50. Написать уравнение прямой в форме в отрезках на осях, если дано, что она наклонена к оси абсцисс под углом 45° и отсекает на оси ординат отрезок длиной 1.

Ответ:

51а. Черев точку (2; 1) провести прямую так, чтобы она отсекала от первого координатного угла площадь, равную 4. Ответ:

Написать уравнение прямой, параллельной прямой и отсекающей от первого координатного угла площадь, равную 5. Ответ:

52. Даны уравнения сторон треугольника

a) Найти вершины. Ответ: .

b) Найти центр масс. Ответ: (2; 4/3).

c) Найти уравнения медиан. Ответ:

Найти уравнения высот. Ответ: .

e) Найти прямые, проходящие через вершины параллельно сторонам. Ответ: .

f) Вычислить периметр. Ответ: периметр равен .

g) Вычислить длины высот. Ответ:

Вычислить площадь этого треугольника. Ответ: .

k) Найти центр и радиус описанного круга. Ответ центр

1) Вычислить тангенсы углов этого треугольника» Ответ:

53. Световой луч, падая из точки и отражаясь от прямой проходит затем через точку Написать уравнение луча падающего и луча отраженного. Ответ:

54. Доказать, что в равностороннем треугольнике сумма расстояний от любой внутренней точки до сторон постоянна, а именно равна стороне, умноженной на

55. Даны две точки . На оси абсцисс найти точку М так, чтобы угол был прямой. (Решить: а) не пользуясь уравнением прямой, b) пользуясь им.) Ответ: (4; 0).

56а. Основание равнобедренного треугольника имеет уравнение Одна из боковых сторон имеет уравнение Найта уравнение другой боковой стороны, если известно, что она проходит через точку (8; 9). Ответ:

56b. Даны уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника точка (1; 2) на его основании. Написать уравнение основания. Ответ:

57. Написать уравнение прямой, равноудаленной отточек Ответ: