ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Глава 1. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ

§ 1. Основные понятия и теоремы

a. Теория чисел занимается изучением свойств целых чисел. Целыми мы будем называть не только числа натурального ряда (положительные целые), но также нуль и отрицательные целые . Так что, расположив целые числа в возрастающем порядке, получим ряд, в котором разность между большим и меньшим соседними членами везде будет равна единице.

Как правило, при изложении теоретического материала мы будем обозначать буквами только целые числа. Случаи, когда буквы могут обозначать и не целые числа, если последнее не будет ясно само по себе, мы будем особо оговаривать.

Сумма разность и произведение двух целых а и b являются также целыми. Но частное от деления а на b (если b не равно нулю) может быть как целым, так и не целым.

b. В случае, когда частное от деления а на целое, обозначая его буквою q, имеем , т. е. а представляется произведением b на целое. Мы говорим тогда, что а делится на b или, что b делит а. При этом а называем кратным числа b, а b — делителем числа а. То обстоятельство, что b является делителем числа а, записывается так:

Примеры. Имеем

Поэтому можем сказать: 21 делится на 7, 0 делится на 9, —85 делится на 17, или: 7 делит 21, 9 делит 0, 17 делит —85.

Имеют место две следующие теоремы:

1. Если а кратно кратно b, то а кратно b

Действительно, из следует

Таким образом, а представляется произведением b на целое число агтх и тем самым делится на b.

2. Если в равенстве вида относительно всех членов, кроме какого-либо одного, известно, что они кратны b, то и этот один член кратен b.

Действительно, пусть таким одним членом будет k. Имеем

Таким образом, k представляется произведением b на целое число и тем самым делится на b.

с. В заключение мы докажем еще одну теорему, которая нам будет весьма нужна в дальнейшем (теорема о делении с остатком).

Всякое целое а представляется единственным способом с помощью положительного целого b равенством вида

Действительно, одно представление числа а равенством такого вида получим, взяв равным наибольшему кратному числа b, не превосходящему а. Допустив же существование представления числа а еще одним равенством того же вида: и вычитая почленно это последнее равенство из предыдущего, получим

Отсюда убедимся (2, b), что разность кратна b. С другой стороны, легко видеть, что та же разность, как разность двух неотрицательных чисел, меньших b, сама будет численно меньше b, числом же, кратным b и численно меньшим b, является лишь число 0. Поэтому , а отсюда и из равенства (1) будет следовать, что, и . Таким образом, второе представление числа а тождественно первому.

Число q называется неполным частным, а число — остатком от деления а на b. Очевидно, что при понятия «неполное частное» и «частное» совпадают.

Примеры. Пусть . Имеем