8.6.3. Центрирование и нормирование матрицы данных.

Рассмотрим более подробно, как связаны решения систем нормальных уравнений для центрированной и расширенной матриц данных.

Так как элементы первой строки расширенной матрицы данных полагаются равными единице, система нормальных уравнений (8.60") имеет вид

(8-61)

где — среднеарифметическое значение переменной а суммирование в выражениях для элементов вектора и матрицы проводится от 1 до .

Если решать систему (8.61) методом последовательного исключения Гаусса или приведением матрицы ХХ к треугольной форме, то первый шаг состоит в делении первого уравнения на и вычитании соответствующих кратных первого уравнения (1-й строки матрицы ) из остальных уравнений (строк матрицы ) таким образом, чтобы оставшиеся элементов первого столбца матрицы ХХ обратились в нуль. Таким образом после первого шага мы получим систему уравнений вида

При этом элементы ковариационной матрицы фактически вычисляются по формуле

Хотя выражение (8.62) теоретически эквивалентно выражению

однако при реализации на ЭВМ формула (8.63) позволяет вычислять элементы с существенно меньшей погрешностью (особенно когда велико), чем формула (8.62) (подробнее см. в п. 8.6.4).

Из первого уравнения системы следует, что

а вектор является решением системы т. е. системы (8.60"), поскольку .

Таким образом, решение нормальной системы уравнений для расширенной матрицы данных сводится к решению системы нормальных уравнений с центрированной матрицей данных не только теоретически, но и во многих случаях при практической реализации вычислительной процедуры. Отметим в связи с этим следующее.

1. Согласно теореме о разделении собственных чисел [1021 имеют место неравенства

где — соответственно максимальное и минимальное собственные числа матрицы 2.

Поэтому для чисел обусловленности имеет место неравенство к , т. е. центрированная система, как правило, лучше обусловлена, чем система с расширенной матрицей данных.

2. Вычисление элементов ковариационной матрицы S проводится по неудовлетворительной, при реализации на ЭВМ, формуле (8.62), что может привести к возникновению дополнительной погрешности в решении. Поэтому если переходить к системе нормальных уравнений, то целесообразнее получать устойчивую (в вычислительном отношении) оценку ковариационной матрицы S (см. п. 8.6.4), решать систему вида (8.60") или эквивалентную ей систему , а значение свободного члена получать из (8.64).

Дальнейшее улучшение обусловленности системы (8.60") и повышение точности вычислительной процедуры можно получить, переходя к нормированным переменным [163].