Раздел IV. СИСТЕМЫ ОДНОВРЕМЕННЫХ УРАВНЕНИЙ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ АППАРАТА СТАТИСТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАВИСИМОСТЕЙ

Глава 14. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМ ОДНОВРЕМЕННЫХ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

14.1. Системы одновременных уравнений

14.1.1. Определение и специфика проблематики систем одновременных уравнений.

При изучении функционирования экономических систем исследователь обычно сталкивается со следующей ситуацией.

Состояние системы в каждый момент времени t описывается набором переменных среди которых есть как эндогенные (внутрисистемные), так и экзогенные (внешние по отношению к рассматриваемой системе). Между переменными существуют функциональные и статистические связи. К первому типу относятся тождества, вытекающие из определений и содержательного смысла переменных. Ко второму типу относятся поведенческие связи, являющиеся выражениями экономических законов, действующих в системе. Поскольку поведение экономических систем носит статистический характер (присутствуют случайные возмущения, погрешности, неучтенные факторы), то для описания поведенческих связей используются регрессионные уравнения. В теории экономикостатистического моделирования систему взаимосвязанных регрессионных уравнений и тождеств, в которой одни и те же переменные в различных регрессионных уравнениях могут одновременно выступать и в роли результирующих показателей, и в роли объясняющих переменных, принято называть системой одновременных (эконометрических) уравнений. При этом в соотношения могут входить переменные, относящиеся не только к периоду но и к предшествующим периодам, называемые лаговыми («запаздывающими») переменными.

Для экономистов большой интерес представляет количественный анализ модели, т. е. нахождение оценок параметров на основании имеющейся в распоряжении исследователя информации о значениях переменных. Первая из возникающих здесь проблем: можно ли в предложенной модели однозначно восстановить значение некоторого параметра или же его определение принципиально невозможно на основе рассматриваемой модели?

Это так называемая проблема идентифицируемости — первоочередная на этапе формирования модели, поскольку прежде, чем переходить к процедурам оценивания, необходимо быть уверенным, что их применение имеет смысл.

Проблема оценивания здесь также имеет свои особенности. Основная трудность состоит в том, что в эконометрических моделях переменная, играющая роль независимой (объясняющей) переменной в одном соотношении, может быть зависимой в другом. Это приводит к тому, что в регрессионных уравнениях системы объясняющие переменные и случайные возмущения оказываются, вообще говоря, коррелированными. Наконец, в современной практике встречаются модели, имеющие десятки и даже сотни уравнений (в том числе и нелинейных), в связи с чем возникают и вычислительные трудности.

Указанные обстоятельства обусловили необходимость построения специальной теории, изучающей статистический аспект экономико-математических моделей. К настоящему времени довольно хорошо разработан ее раздел, относящийся к моделям, описываемым системами линейных уравнений. Имеется ряд итоговых монографий (содержащих обширную библиографию), среди которых отметим [46, 80, 106, 143]. Гл. 13 и 14 [46], посвященные проблемам идентифицируемости и оценивания для систем одновременных уравнений, могут быть рекомендованы для первоначального ознакомления с предметом.

Современные исследования в указанной области составляют содержание журналов «Econometrica» и «Journal of Econometrics».

14 1.2. Два традиционных примера.

Прежде чем перейти к формулировке общей линейной модели, рассмотрим в качестве иллюстраций два классических примера.

Пример 14.1. Рассмотрим модель спроса и предложения («крест Маршалла»). Спрос Q на некоторый продукт и его предложение Q зависят от цены продукта. Рыночный механизм формирует цену таким образом, что спрос и предложение уравниваются. Наблюдению доступна равновесная цена и спрос (совпадающий с предложением).

Возникающая здесь линейная модель выглядит следующим образом:

(«спрос пропорционален цене»), ;

(«предложение пропорционально цене»),

Величины — случайные возмущения, имеющие нулевые средние. Оказывается, без дополнительных предположений (например, на структуру случайных возмущений) интересующие экономистов параметры и Р однозначно в этой модели определить нельзя, т. е. они неидентифицируемы. Точные определения и утверждения даны в следующем параграфе.

Пример 14.2. Содержательный смысл модели спроса состоит в утверждении, что потребительские расходы, т. е. спрос, пропорциональны доходу. В свою очередь доход есть сумма потребительских и непотребительских расходов. Математическая формулировка модели такова:

где с — потребительские расходы; у — доход; — непотребительские расходы; и — случайное возмущение (учитывающее неполноту информации, незамкнутость системы и т. п.). Предполагается, что уровень непотребительских расходов задан извне, т. е. переменная z экзогенна и определяется независимо от с и у. Случайные величины , некоррелированы, имеют нулевые средние и одинаковые дисперсии . Требуется оценить параметры модели

В (14.1) переменная у коррелирует со случайным возмущением. В самом деле,

Поэтому

и посылки метода наименьших квадратов для уравнения (14.1) не выполняются. Это приводит к тому, что обычные мнк-оценки параметров (14.1) оказываются смещенными и несостоятельными. Например, мнк-оценка параметра Р имеет вид

где

Предполагая, как обычно, что (это соотношение всегда справедливо в силу закона больших, чисел, если z — детерминированные), где — некоторая константа, имеем

и, значит, , если и если .

Таким образом, при оценка (14.3) несостоятельна.

14.1.3. Общая линейная модель.

В данной главе мы будем изучать линейную модель вида

Здесь — значения эндогенных переменных в момент — значения экзогенных переменных в момент t и лаговых эндогенных переменных. Переменные в момент времени t называются предопределенными.

Совокупность равенств (14.4) называется системой одновременных уравнений в структурной форме. На коэффициенты (14.4) накладываются априорные ограничения, например, часть коэффициентов считаются равными нулю. Это и обеспечивает возможность статистическиого оценивания оставшихся.

Систему (14.4) удобно переписать в следующем матричном виде:

где В — матрица порядка G X G, состоящая из коэффициентов при текущих значениях эндогенных переменных; Г — матрица порядка состоящая из коэффициентов при предопределенных переменных;

— вектор-столбцы.

Предположим, что матрица В невырождена. Тогда уравнение (14.5) можно разрешить относительно

где — матрица размерности — случайное возмущение. Равенство (14.6) называется приведенной формой системы одновременных уравнений.

Введем обозначения:

Тогда все уравнения (14.5) для всех периодов наблюдений могут быть записаны в виде одного матричного уравнения

Эта компактная форма будет использоваться в дальнейшем.