10.3.1. Определение одномерных сплайнов.

Пусть на отрезке (а, b] выделено точек которые мы будем называть узлами, — полиномы степени удовлетворяющие условию

(10.16)

где означает производную (по ) k-гo порядка от Р. Тогда

(10.17)

называют сплайном порядка с узлами. Таким образом, если исследователь хочет использовать сплайны, он должен определить:

а) I — порядок сплайна, т. е. степень полиномов

б) — число узлов, равное числу различных полиномов без одного;

в) положение узлов на

1 свободных коэффициентов сплайн-функции (каждый полином имеет коэффициент и каждое условие гладкости (10.16) накладывает I связей, откуда число свободных параметров равно:

Полиномы могут быть представлены в одной из двух форм:

или

Отсюда для сплайна на отрезке [а, b] получаем представление [54]

(10.18)

где а знак + справа снизу скобок означает усечение

В формулу (10.18) линейно входят только неизвестных коэффициентов, поэтому в принципе она могла бы быть использована в методе наименьших квадратов или в какой-либо другой подходящей процедуре оценивания. Однако с вычислительной точки зрения иметь дело со степенными функциями не удобно и желательно использовать другое представление через так называемые базисные сплайны.

Для этого введем дополнительно узлов слева узлов справа Например, можно положить

Определим теперь базисные сплайны (В-сплайны) как (ниже знак i справа сверху В — индекс, а не знак возведения в степень)

(10.19)

-сплайны обладают [541 следующим свойством:

Сплайн-функция однозначно представляется в виде

Для равноотстоящих на единицу масштаба узлов базисные сплайны показаны на рис. 10.2.