7.4.1. Случай известной ковариационной матрицы ошибок.

Пусть дана последовательность наблюдений , и при этом предполагается, что

где — -мерная векторная регрессионная функция от X, известная с точностью до значения неизвестного векторного параметра

Рассмотрим модель, линейную относительно (см. (7.1)):

где — известная матрица—функция от X, а

Векторы случайных ошибок взаимно независимы и имеют невырожденное -мерное нормальное распределение с Для упрощения обозначений будем писать и V; вместо

В случае когда V, известны и определенное (7.67), начиная с некоторого , имеет полный ранг, наилучшая линейная оценка для имеет вид [117]:

где

Формулы (7.66) — (7.68) легко могут быть получены из (7.20), если рассмотреть наблюдений -мерного вектора как наблюдений одномерных векторов с известной блочно-диагональной (с блоками размера ковариационной матрицей между ними.

В сделанных предположениях оценка (7.66) состоятельна, несмещена и нормально распределена. Ее ковариационная матрица равна:

7.4.2. Случай неизвестной ковариационной матрицы ошибок, не зависящей от значения предикторной переменной . По аналогии с (7.66) в рассматриваемом случае оценка находится из решения уравнения

где

Решение (7.70) удобно искать с помощью итерационной процедуры вида . При выполнении дополнительного требования, что матрица

невырождена, в [137] показано, что в окрестности истинного значения итерационная процедура сходится с вероятностью, стремящейся к 1 при .

В общем случае уже нельзя гарантировать единственность решения (7.70), а можно лишь утверждать, что при я среди решений (7.70) можно выделить последовательность сходящуюся к истинному значению . Эта подпоследовательность асимптотически-нормальна с параметрами .